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寫給新手：什麼是等效光圈？
冼鏡光
February 2, 2019上線
2019開年第一篇，祝各位新年快樂
本文原來打算是2018年的壓軸之作，沒想到此地當機（近期常如此），只好順延到2019年、變成2019年的第一篇。新年新希望，但願此地少當機、最好是不再當機。
在網上常看到等效光圈這個詞，一般說法（譬如）是在135片幅（他就俗稱的全幅）機型上的光圈f值得乘以2就是Micro 4/3機型上的等效光圈，也就是說Micro 4/3機型上f/8和135機型上的f/4等效。那麼，這個「效」是什麼？這一點就少人說了。另外，如果我們知道這個「效」是什麽之後，好奇的人一定會問為什麼，這才是有趣的地方，因為一定有很多高手出來說法，講到什麼光圈面積啦、單位通光量啦、感光晶片上的單位感光量啦、和快門速度的關係啦、等等，似乎等效光圈是一門非常高深的學問。另一方面，也肯定會有人不喜歡如此高來高去的說法，然後就拿出照片，說是實驗的証明。說老實話，這些照片能証明些什麽也是大有疑問的，因為可能參雜了一些額外的因素，從而使實驗的可信度大打折扣。
那麼，等效中的「效」是什麼？簡單地說，如果焦距、對焦距離相同，在不同片幅下能夠得到相同景深的光圈就是等效光圈。所以，等效光圈和景深有關。然而影響景深的因素有四：焦距、對焦距離、光圈f值、和最大模糊圓直徑，因為最大模糊圓直徑是從片幅而來，所以景深也和片幅有關。題外話，在某網站上某人寫了篇文章說景深和片幅無關、並且用照片証明，結果有讀者指出錯誤、並且引用寫給新手系列的景深概論反駁，原作者的反應很直接，我是錯的、他是對的，因為他有照片証明。這種略嫌反智的處理方式在國內很常見，但是如果所有的控制變因都沒處理好、而且可能還參雜其它變因，做出來實驗（照片）的可信度是存疑的。所以，當已經有現成的理論，就應該套用該理論解釋、並且用照片做進一步的說明，而不是拍照片當做証明（這叫做以偏蓋全，prove-by-example）。
再說，如果等效光圈中的「效」是指景深，為什麽不去查一查景深公式，一查之後真相馬上大白，用不着扯到什麽單位通光量、單位曝光量這些似是而非的名詞唬人吧！既然此地有人問到這個問題，所以就趁着放假的空檔寫篇長文回答。沒興趣讀長文的讀者，看完等效光圈其實是個非常簡單的算術問題後就可以停下來，不必往下看了。
從片幅和最大模糊圓說起
片幅通常指的是底片和感光晶片的尺寸（長和寛），譬如說135（或35mm）底片的片幅是36mm x 24mm，這也是俗稱的全幅（FF）尺寸，不過此地儘可能不用「全幅」而用「135底片片幅」或「135片幅」。然而，片幅數據包含了長與寛兩個值，不如使用對角線長度一個值來得方便。好比說，目前數位相機的感光晶片的135片幅、APS-C片幅和Micro 4/3片幅分別是36x24、23.6x15.6和17.3x13（單位是mm），它們的對角線長分別是43.2666mm、28.2899mm和21.64mm，因此135片幅的對角線長分別是後兩者（APS-C和Micro 4/3）的1.5倍和2倍，這1.5和2就是APS-C片幅和Micro 4.3片幅相對於135片幅的裁切因子。請參看拙著《DSLR：觀念、技巧與原理第M.4章就片幅、視角和裁切因子的詳細說明。
再來說說最大模糊圓。把影像檔印成照片時，底片上的細節也都一起被放大，然而人眼的解像力有限，使得底片上一個非常小的圓經過放大後在照片上固然仍然是一個圓，但是因為可能不夠大、在人眼看來卻是一個點。然而照片可不是在任何距離觀賞的，經過多年的研究和實驗分析之後，科學家發現觀賞照片時的標準大致上是在一臂的距離（約30公分）看8x10英吋的照片。比較小（或大）的照片就得依比例移近（或遠離）眼睛；這就是我們看展覽時大照片會退後些、而看小照片時會走近看的理由。在這個條件下，科學家發現，如果底片上的一個圓的直徑為（片幅對角線/常數）或更小，經過放大成8x10英吋照片後在30cm距離觀看時，這些底片上的圓會被人眼看成一個點。所以，在底片上最大的、經過放大後會被肉眼看成一個點的圓就叫做最大模糊圓（Maximum Permissible Circle of Confusion）。
前面提過，這個最大模糊圓的直徑是定義成（片幅對角線/常數），所以最大模糊圓是隨片幅而異的。那麽那個「常數」是多少呢？各家鏡頭製造商可能會用不同的值，大致上是在1500到1800左右，為方便起見此地用1500。因為135底片、APS-C和Micro 4/3的對角線長分別是43.2666mm、28.2899mm和21.64mm，這三個片幅下的最大模糊圓直徑分別是0.03mm、0.02mm和0.014mm。要注意的是，APS-C和Micro 4/3的對角缐分別是135片幅的1.5倍和2倍（裁切因子），所以這兩個片幅的最大模糊圓直徑是135片幅的2/3和1/2，或135片幅的最大模糊圓直徑分別是APS-C片幅和Micro 4/3片幅的1.5倍和2倍。下表是三個片幅最大模糊圓的（近似）直徑，如果您希望了解整個最大模糊圖的詳細解釋，請看拙著《DSLR：觀念、技巧與原理第M.16章的討論。
什麼是「等效光圈」？
什麼是等效光圈？簡單地說，在相同的焦距和對焦距離但不同片幅下，會得到相同景深時光圈的關係如何？這些會得到相同景深的光圈就是等效光圈。個人不覺得這個問題的答案有什麽實用的價值，但網上很多人都喜歡用等效光圈，然而卻語焉不詳、也沒有把等效光圈中「等效」的意義說得清楚，所以此地打算把等效光圈這個觀念說清楚。
等效光圈其實是個非常簡單的算術問題
在寫給新手系列中有一篇叫做景深概論的文章，其中列出了計算景深的式子如下，在這幾道式子中，f是焦距、u是對焦距離、N是光圈f值、而C是最大模糊圓直徑。
回到等效光圈的論題。因為焦距f和對焦距離u不變，能動的部分就只有某片幅下的最大模糊圓直徑C和光圈f值，從上面的景深公式看來，分子有N*C而分母則有N*C的平方，於是把C（或N）除以一個非零常數的同時、也把N（或C）乘以同一個常數，因而兩者相互抵消，景深的公式完全不變，這就是証明。
我們用例子說明。因為135片幅的對角線分別是APS-C片幅和Micro 4/3片蝠的1.5倍和2倍，所以135片幅的最大模糊圓直徑C也是APS-C片幅和Micro 4/3片蝠的1.5倍和2倍；換言之，如果135片幅的最大模糊圓直徑是C，那麼APS-C片幅和Micro 4/3片蝠的最大模糊圓直徑分別是C/1.5和C/2。我們把景深式子中的N（光圈f值）分別乘以1.5和2，就會抵消了在最大模糊圓中除數的部分，從而景深不變。
綜合起來，如果有兩個片幅它們的最大模糊圓C1和C2的關係是C1 = C2*a，此地a是C2相對於C1的裁切因子（a是C1片幅對角線被C2片幅對角線除的商），於是把片幅C1的光圈f值乘以a就是在片幅C2之下（有相同景深）的等效光圈。回到上一段，APS-C片幅和Micro 4/3片蝠相對於135片幅的裁切因子分別是1.5和2，所以在135片幅下的光圈f值乘以1.5和2就分別會得到在APS-C片幅和Micro 4/3片幅下、使用相同焦距和對焦距離以及該光圈f值的相同景深。譬如說，在焦距和對焦距離相同時，135片幅下用f/3.5（=2*1.5）的景深和APS-C片幅下用用f/2的景深相同；同理，135片幅下用f/4（2*2）的景深和Micro 4/3時用f/2的景深相同。我們也可以反過來看，在135片幅下使用f/5.6時，如果焦距和對焦距離相同，又要得到相同的景深，APS-C片幅下要用f/3.7（=5.6/1.5）、在Micro 4/3時得用f/2.8（=5.6/2）。
坦白說，這樣簡單的道理在許多網路攝影名人、達人、大師（含鍵盤名嘴）口中卻被扔在一邊，而喜歡用什麽單位通光量啦、感光晶片的單位感光量啦、等等高深名詞解釋，但卻是愈解釋愈離譜、愈莫測高深，恐怕連自己都不太相信吧？我總是很想有這樣的結論：台灣的教育一方面把學生教得會鑽牛角尖、另一方面又把學生弄得愛打高空（文青吧），但是紥實地回到根本的基本功夫卻很虛浮。要不然，那些大師們為什麼在講和景深有關的等效光圈論題時，不去瞭解這個等效中的「效」是什麽，而扯到通光量去了（不知道光圈是如何定義的吧？）；縱使是知道和景深有關，為什麼不去查一查景深公式呢？唉！
景深和最大模糊圓的關係
接下來我們換個角度看問題。請看下圖，圖中L是透鏡，固然是畫了個透鏡，但縱使是復合透鏡，也是可以化簡成一個厚透鏡討論的。事實上，您應該把它當成光圈機制所在，也就是說，圖中的K就是光圈開孔的直徑。
考慮在鏡頭前方（左邊）的點A，它經過鏡頭L之後在感光晶片（黃色部位）的像為B。X是在景深前緣的點，於是它的像就會出現在感光晶片後面的點Y，在感光晶片上X的像是一個圓而不是一個點。所有在A和X之間的點的像都會在B和Y之間；不但如此，除了A在感光晶片上的像是一個點之外，其它的點的像都是大小不等的圓，而且愈靠近A的點在感光晶片上的像（一個圓）就愈小、愈靠近景深前緣X的點在感光晶片上的圓就愈大。換句話說，X在感光晶片上會産生最大的圓，這就是最大模糊圓。在圖中，D是這個最大模糊圓的直徑。
為什麽這個圓（景深前緣的點在感光晶片上的像）是最大模糊圓？原因就是它和景深的關係。景深的觀念是：當照片被放大到某個參考用的尺寸時（通常是手臂長的最佳觀賞距離下的8x10英吋），肉眼看起來圓卻是一點的範圍，但離開這個範圍後圓就被看成圓、就糊了。因此，在景深前緣的點在感光晶片上的影像圓就是最大的、在照片上會被當成一個點看待的圓，在前緣前方更靠近鏡頭的點在感光晶片上的影像圓會更大，但是照片上就糊了（不再是一個點）。所以，最大模糊圓就是經放大後在照片中我們的眼睛仍然會當成一個點看待的最大極限。
同樣地，如果點X在景深後緣，它的像Y就會出現在感光晶片的前面，當然在感光晶片上就是個圓。因為X是在景深後緣，比X再遠一些的點（一個圓）就會大到眼睛看起來不再是一個點，所以X在感光晶片上的圓的大小就是最大模糊圓了。從這個討論，我們可以體認到一點：在景深範圍任一個點在感光晶片上的像是個比最大模糊圓小的圓，而不在景深內的點在感光晶片上的像都是比最大模糊圓來得大的圓。
光圈和最大模糊圓的關係
前面兩張圖都隱含了最大模糊圓是由經過光圈最邊緣的光線決定，真的如此？要回答這個問題，我們還是得回到景深的觀念。前面才提過，A在感光晶片上的像是一個點，當一個點向景深前（或後）緣方向移動時，這個點在感光晶片上的像是一個圓，而且離A愈遠這個在感光晶片上的圓就愈大，但是都比最大模糊圓小。當這個點到達景深前緣和後緣時，感光晶片上的圓就和最大模糊圓一樣大；越過景深前緣和後緣之後，點在感光晶片上的圓就都比最大模糊圓大，從而在觀賞時照片上就不再是一個點而是一個圓，從而看起來就是糊的了（在景深之外）。
從這個關係出發，我們不難回答本節開頭的問題。請看下圖。如果我們有一個較小的光圈開孔k，從開孔邊緣經過最大模糊圓上方邊緣的光線和軸在V處相交，當然V是某個在鏡頭前方點U的像。這個點U何在？我們沒有必要知道U的確實位置，然而因為V落在Y的後面，於是U就必定在X（景深前緣，和前面各圖相同）與鏡頭之間。這至少告訴我們兩點重要訊息。第一，X是景深前緣，所以它在感光晶片上的像就是最大模糊圓，越過X之後的點在感光晶上的像（一個圓）會比最大模糊圓大。然而，U在X右邊，它的圓應該比最大模糊圓大，怎麼可能等於最大模糊圓呢？所以，我們原先圖中讓X出發的光線經過原光圈邊緣而得到最大模糊圓是對的。第二，因為光圈從原本的直徑K收小到k時，產生最大模糊圓的點U的位置從原先較大光圈的X向鏡頭方向移了，所以從A到産生最大模糊圓的新點U的距離加長，這不正說明了收小光圈使景深加長的道理嗎？景深後緣的討論是一樣的，您不妨自己試試。
如果把光圈K加大了又如何呢？道理一模一樣，我們把U和V分別互換成X和Y、並且把D和d以及K和k對調就行了（見下圖）。細節就請您自己補上吧。總之，一旦光圈選定之後，從景深前緣（或後緣）出發的光線，經過光圈上下緣聚焦後，在感光晶片會是同一個圓，這就是最大模糊圓。
相同光圈、焦距和對焦距離下，小片幅的景深比較淺
在寫給新手系列中的景深概論一文中我們用照片說明了這件事實，此地打算沿用上面的思維給個解釋。請看下圖，如果A是被攝體，它的像在感光晶片上的B處；X是景深前緣，它的像在Y、而在感光晶片上是一個直徑為D的圓；目前使用的光圈開孔直徑是K。如果用同一個鏡頭、但換了一個較小片幅的機型拍攝，A和B的位置（相當於焦距和對焦距離）不變、而且光圈開孔相同。因為片幅較小，所以最大模糊圓也比較小（請記住，最大模糊圓直徑是“片幅對角線/常數”），在下圖中我們用d表示。
前面說過景深前緣的點、光圈開孔邊緣、和最大模糊圓邊緣的關係，所以若從光圈開孔的上緣到最大模糊圓上緣的連線和軸在V處相交，那麽V就應該在B和Y之間（見上圖），當然構成V點的點U就應該在A和X之間。這表示一個在A和X之間的點U會在感光晶片後方成像，而在感光晶片上U的像是一個和較小感光晶片的最大模糊圓一樣大的圓，當然U就是對應着較小感光晶片上的景深前緣。因為在較大感光晶片上的前景深是從A到X、而較小感光晶片上的前景深是從A到U，又因為U在A和X之間，所以較小感光晶片上的前景深比較大感光晶片上的前景深來得短。同樣的道理，我們也可以得到較小感光晶片上的後景深比較大感光晶片上的後景深來得短，於是較小感光晶片上的景深比較大感光晶片上的景深來得短。
再回頭說等效光圈
最後，我們再回頭談等效光圈。再提醒一次，在相同焦距和對焦距離，不同片幅下可以拍到相同景深的光圈就是等效光圈，所以「等效」的意義是相同的景深。我們看下圖，這是前幾個圖的右半（因為我們只需要右半）。在圖中D和d是大小兩個片幅下的最大模糊圓直徑，而且a = D/d正好是小片幅對應大片幅的裁切因子；另外K是大片幅的光圈直徑，B是點A（圖中沒畫出來）在感光晶片上的像，Y是景深前緣X（圖中沒畫出來）的像、而景深前緣的點在感光晶片上的像正好就是最大模糊圓，最後G和H是光圈兩個頂點、兩者之間的距離為K。
在小片幅上，從Y和直徑為d的最大模糊圓邊緣的連線就是在小片蝠下能得到該片幅的最大模糊圓的光錐，這個光錐向左延伸會通過光圈開孔，假設和光圈開孔直徑GH分別交於g和h，於是g和h之間的距離k就是在較小片幅下的對應最大模糊圓的光圈開孔直徑。很顯地，用相似三角形，我們會得到K/k = D/d = a，因此K = k*a。
光圈f值N在簡單透鏡（目前我們所用的情形）下的定義是N = f/(光圈直徑），在複透鏡則是N = f/(入瞳孔直徑）。因為焦距f相同，由上式得到（大片幅光圈f值） = f/K= f/(k*a) = (小片幅光圈f值）/a，或者是（大片幅光圈f值）*a = （小片幅光圈f值），這就是我們要的結果：如果片幅的裁切因子是a，在相同焦距和相同對焦距離下，大片幅的光圈f值乘上裁切因子後的光圈f值可以得到和小片幅光圈f值相同的景深。譬如說，135片幅相對於APS-C的裁切因子是1.5，於是APS-C在光圈f/2.8、f/4、f/5.6的景深（在相同焦距和對焦距離下）和135片幅上的光圈f/4.2 = 2.8*1.5、f/6 = 4*1.5、f/8.4 = 5.6*1.5相同；換成是Micro 4/3片幅（裁切因子為2），在135片幅上用f/5.6 = 2.8*2、f/8 = 4*2、f/11.2 = 5.6*2就會有相同的景深。
結論
本文用非常淺顯的方式解釋等效光圈的意義，並且給了兩個「証明」。第一個証明直接套用景深公式，只要知道景深公式和最大模糊圓的定義，這根本就是個易如反掌的論題。第二個証明是幾何形式的，我們回到景深前緣、光圈開孔、和最大模糊圓的關係，透過相當簡單的透鏡成像知識，不但說明了相同焦距、相同對焦距離、和相同光圈f值的前提下，小感光晶片影像被放大後照片中的景深比大感光晶片的來得淺，而且也順道証明了等效光圈的關係。因為本文沒用到多深奧的知識，所以放在寫給新手 系列、而不是在 基礎知識系列。
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引用方式：冼鏡光，寫給新手：什麼是等效光圈？，DCView.com達人部落格（http://blog.dcview.com/article.php?a=Um4FYAJnBjdQOA%3D%3D）
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