三本高中時買的幾何書
發表於2020.04.21 22:22

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三本高中時買的幾何書

 

冼鏡光
April 21, 2020上線

前些日子清理地下室書庫時隨手撿出幾本老書,自然就勾起一些回憶,雖然和攝影無關。離開台灣時這些書都沒帶著,和當時其它留學生一樣,兩個大旅行箱裡頭帶了大同電鍋、隨身衣物、若干本書,如此而已,老婆就留在台北照顧三隻寶貝貓。書是過了一兩年後,娘子拎着大箱子一次次搬來的,這段時間中因為台灣氣候潮濕疏於照顧,書本都出了點小問題,但是她還是幫我把高中時代買的幾本心愛的書帶了過來。這些書對我的教學研究一點用處都沒有,所以不論如何搬家,它們都靜靜地站在書架一角,為我記錄下高中時代的一些回憶,而且是相當美好的回憶。

從小學開始就不十分喜歡理科,雖然也讀得不差,但也不出色。小學時有一次區域數學考試競賽抽到我們班,考完之後認為只錯一兩題,但成績改出來卻只有八十多分。在體罰是正常的時代,班導師賞我們扣一分用藤鞭打一下手心,所以當場左右手都挨了不少下,趕緊用硯台貼着手心止痛。過了些日子,那個什麼考試委員會給咱們發了個通知,說是我的考卷有一部分沒改,更正的分數非常高、大概是前幾名。老師公佈這個「好」消息時,因為沒得到該得的奬還挨了十幾下藤鞭,心裡頭五味雜陳(總不能叫老師把手伸出來打回去吧),此後或多或少就對數學沒多大興趣了。

上了初中之後,只有第一次月考在前三名,然後就每下愈況,在中間和後段三分之一之間徘徊。那時醉心古典文學(老東西,不是嗎),後來陰錯陽差迷上了古典音樂(又是老東西),開始時學一些和聲與對位以及曲式等等的簡單知識,後來這都變成追老婆的本錢。最先是從軍樂總譜開始揣摩,再進入簡單的管弦樂訓練,所以幾乎大半個初中時代都沈迷在音樂的世界裡頭。結果是沒讀成音樂,因為長輩認為萬一沒什麼出息就會淪落到夜總會吹喇叭(舉個例子),連自己都可能養不活,何況養老婆和孩子。


老師出的難題

初中時住校,一兩位老師常會每週出一個數學難題給同學們動動腦筋,吃完晚飯晚自修前,常會有一堆同學圍在黑板前面討論如何做題目,我因為興趣不在此,通常就在座位上研究總譜。有天晚上,好友告訴我一個他想了許久都做不出來的問題,這倒不是因為我能解題目,而是朋友之間聊天的話題。這是道標準的幾何作圖題,它是這樣說的:已知一個三角形,在此三角形內作一個三角形使得此三角形各邊上的外接正方形對邊在已知三角形的邊上(下圖中淺色是得構作的部分):

 

我沒在這道題目上花太多時間,因為很快就得到答案,但是當時因為程度不足無法提供一個完整的証明,所以老師也不十分相信這個做法是對的、但也無法推翻它。一段日子後(多久就記不起來了)才勉強湊了個自己都不知道是否完全正確的証明,之後就回頭研究音樂,再也沒參加過做題目。那時的想法是這樣的:要把三角形作在已知三角形裡頭不十分容易,所以在已知的三角形外面作正方形,這三個正方形對邊的延長線構成一個和已知三角形相似的三角形,把這個大三角收縮到已知三角形大小,已知三角形就縮成求解的三角形了。

下圖中,ABC是已知三角形,在它每一邊上作外接正方形,再把正方形的邊延長得到一個大三角形(圖中的虛線)。接下來,把三角形對應的頂點連線,它們會交於一點,然後從這個點向大三角形邊上正方形的頂點連線,這些線和三角形ABC的邊相交,這些交點正是所求的正方形在三角形ABC邊上的頂點。圖中黃點是所求三角形的頂點,藍色是所求的三角形和正方形。

 

當時想出來的証明反覆用到相似三角形的觀念,有點拙劣,但是八九不離十。高中時讀到更多東西時,才知道這是投影幾何(Descr iptive Geometry)的中心投影觀念,用Desargues定理幾句話就說得清楚,所以多學一點東西長點知識還是有好處。還有,這三條連接相對應頂點的直線正是逆平行中線(Symmedian),它們的交點是Lemoine點,在十九世紀這是個重要的三角形幾何學的發現,我是到高一時才知道Lemoine點和逆平行線理論和它的美。雖然在初中時代對數學沒多大熱忱,有的話就僅止於此題,但考上高中後卻回頭希望把証明弄清楚(當然還有其他因素),所以就放下音樂走入幾何學的殿堂。


開始買數學書

走入幾何學在當時並不是一件容易的事,一來是找不到可以請教的師長(大家都是拼升學),市面上的書如果不是補習班教材就是洋文的大專用書,所以開始時着實是無頭蒼蠅亂轉了一陣子。那時重慶南路上書店之多恐怕超乎您今天的想像,下課後就往重慶南路跑。正中書局、中華書局、商務印書館都出了些中文數學書,這些書有些看不懂、有些看得似懂非懂、有些看得津津有味,很多放學後的下午就是這樣過的。最吸引我的是商務印書館的人人文庫,這一系列書包羅萬象,很多小冊子是國民政府在大陸時期翻譯的世界名著。我一直想學的投影幾何和射影幾何(Projective Geometry)卻絶版了,後來在市立圖書館(那時在新生南路和中正路 -- 現在的八德路 -- 台北工專對面)找到這本書,有空就帶着筆記本去把整本書抄下來,好在書不厚也很好讀,一面抄一邊思考,沒多久也就弄通了,終於瞭解初中時的想法是射影幾何的一部分(雖然手法很嫩),於是簡短而且正確的証明也就出來了。

有了基礎知識之後,接下來就開始挑戰英文書往更深的層次走。有意思的是,在逛牯嶺街舊書店時發現有日文數學書,雖然不懂日文,但其中漢字不少猜猜也得個七八成,剩下來的就看自己造化、能否填滿那缺了的兩三成,好在和英文書比較之後通常是可以的。日文書和英文書不太一樣(至少我當時的印象是如此),英文書着重在觀念和系統的演化,日文書卻頗多解題。因為射影幾何已經有了初步基礎,從高二起突然迷起這些日文舊數學書,零用錢幾乎都花在這些頗貴的日文舊書上頭,不過比起當時翻版的英文書,這些精裝的日文舊書的確漂亮、讓人愛不釋手。從高中到大學、就業、然後出國讀書,都會把比較喜歡的帶在身邊,只是重點變成懷舊而不是研讀了。遺憾的是,搬了幾次家之後,一套花了不少錢買的小倉金之助譯的《初等幾何學》(原本是Eugène Rouché和Charles de Comberousse合著)竟不知所終,雖然目前手上有法文原版的翻版(Traité de Géométrie Élémentaire),但每次想到少了這本日文版都還是心痛。

有朋友說我年紀稍大才會懷舊。不!這是我的本性,我從初中起就有這樣的情懷,一面學新東西、另一面卻喜歡往舊東西和老東西方向轉,因為總是認為人是能夠繼往開來的動物,沒有以前就不會有現在,沒有現在就無法開展未來。所以,從初中開始就有懷舊的習慣、手上的東西很少丟掉,以致於現在地下室中已經物滿為患。另外,在做學問和研究時也習慣往老文獻中找靈感、瞭解整個發展的源流和脈絡,這樣才能融會貫通、瞭解才會透徹。

下面打算談幾本高中時收集的日文和中文數學書。


林鶴一:射影幾何學

下面這本書是林鶴一寫的《射影幾何學》,初版是大正七年(1918)十一月八日、改訂版是昭和三年(1928)九月十八日,出版商是大倉書局。手上的是改訂版,距今(2018)90年了、雖然從印這本書到現在未必有那麼多年。那個時候我有買書後蓋上章的習慣,看看日期正是升高二時的暑假,才會有那麼多逛書店的時間。林鶴一在日本數學界頗有知名度,他是東北數學期刊Tohoku Mathematical Journal)在1911年創刊者之一,這也是日本第一本外文的數學期刊。這本書留在台灣比較長,濕氣使書脊幾乎爛掉,因為年代久遠,也有脫頁的現象。

下面左邊照片是林鶴一的改版序(請注意日期),右邊是版權頁。

買這本書的真正理由已經不很清楚了,不過那段日子很瘋射影幾何學,特別是射影幾何學裡頭的圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)定義,Pascal和Brianchon定理,以及對偶律(duality)。此地不是談幾何學的地方,不過Pascal和Brianchon定理卻很容易說明。

法國數學家和哲學家Blaise Pascal在1639年16歲時寫了一頁筆記並且在次年出版,這篇筆記中有今天所謂的Pascal(也叫做神秘六角形)定理,但沒有証明,目前看到的証明全是後人做的。以前看過一些(中文)文章,說是Pascal在睡夢中想出這個定理,但正式文獻中似乎沒有這個說法,或許是我漏看了也說不定。Pascal這篇文章名稱是Eassy pour les coniqves, Par B.P.,有興趣的朋友可以在David Eugene Smith的《A Source Book in Mathematics》這本書的頁326-330找到英文譯本。

在圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線、甚至於兩條直線)上任取六點ABCDEF,依這樣的順序連成一個該圓錐曲線的內接六邊形(有些邊可能相交),它的三組對邊交於三點,Pascal定理說這三個交點共線。在下左圖中,圓錐曲線是個橢圓,ABCDEF是個凸六邊形,對邊AB和DE交於P、對邊BC和EF交於Q、對邊CD和FA交於R,Pascal定理指出點P、Q、R在同一條直線l上頭。

 

Brianchon定理是法國數學家Charles Julien Brianchon在1806年的一篇文章中提出的,上面提到的Smith書中頁331-336是Brianchon文章的部分英譯,其中就有Brianchon定理當時的証明,當然200多年後的証明就簡潔得多。Brianchon定理是這麼說的:假設abcdef是和一個圓錐曲線相切的六條切線,它們構成一個外切六邊形,於是三個對頂點的連線(也就是對角線)會交於一點。上面右圖中,直線a和b的交點與直線d和e的交點是對頂點、它們決定了一條對角線p,直線b和c的交點與直線e和f的交點是對頂點、它們決定了一條對角線q,直線c和d的交點與直線f和a的交點是對頂點、它們決定了一條對角線r,Brianchon定理指出直線p、q和r會交於一點L。

這兩個看似無關的漂亮定理卻可以用射影幾何的對偶律連成一個;換言之,透過對偶律,只要能夠証明其中之一(譬如Pascal定理),馬上就可以得到另一個(譬如Brianchon定理)。比地不方便講太多對偶律,用直觀的方式來說,大致上就是點和線相對、兩個點定一條直線和兩條線得一個交點相對、內接和外切相對等等,這個觀念用解析幾何來說是輕而易舉,不用座標就不容易說得簡潔。下面的圖是個例子,ABCDEF是個內接六邊形的頂點,在這六個頂點處的切線abcdef則定出一個外切六邊形,於是「內接六邊形兩個對邊的交點」和「外切六邊形兩個對頂點的連線」相對,最後「三個交點共線」和「三條直線共點」相對,這就把兩個定理連在一起。當然,這個圖中還有更深刻的對偶關係(譬如極點pole和極線polar的對偶),不過此地就不多說了。

 

正因為這一層對偶的關係,射影幾何學的書通常一頁分成兩半,分別列出兩個對偶的定理。下面是林鶴一書中對這兩個定理說明的一頁:

我在高一上幾何學的老師曾經提到過Pascal定理,不過他用的是圓,証明相對地簡單。但是當時的幾何課本卻沒有教到圓錐曲線,這是去市立圖書館抄書時學到的,之後就開始瘋這兩個定理了。

不論是中文書、英文書、還是日文書,都沒提到一個Poncelet定理的証明,雖然很多書都會順手帶上一筆,這要到上了大學之後才有機會了解這個定理,真正懂了它的內涵又是很久以後了。Poncelet定理的最廣泛型式需要一些額外知識,所以此地只談它的一個廣為人知的型式。下圖中有兩個橢圓、一者在另一個裡面。Poncelet定理說:如果外橢圓存在有一個內接多邊形(邊可以相交如圖所示)是內橢圓的外切多邊型,那麼就會有無限多個外橢圓的內接多邊形同時也是內橢圓的外切多邊形;不但如此,外橢圓上任何一點都是某個這種多邊形的頂點。因為Poncelet定理是射影幾何學定理,射影幾何學並不區分橢圓、雙曲線和拋物線,所以下圖可以視為任何圓錐曲線。Poncelet定理和後來發展的若干數學分支有密切關係,在大學課程中(數學和計算機科學)您最可能看到的關連就是橢圓曲線(elliptic curve,不是橢圓)上點所構成的加法群,計算機系開的密碼學課程中多半會講到用橢圓曲線編密的技巧。

取自Vladimir Dragović and Milena Radnović, Poncelet Porisms and Beyond, Springer, 2011

Jean-Victor Poncelet (July 1, 1788 - December 22, 1867) 是法國數學家和工程師,1812年拿破崙進攻俄國時他是炮兵指揮官,1812年11月18日在俄國Krasnoi戰役最後一天時受傷被俘,從1813年4月到1814年6月被關在俄國牢中。這段日子裡頭Poncelet寫下了不少幾何學的筆記Cahiers de Saratov(Saratov筆記),其中就有這個影響非常深遠、非常漂亮的定理。Poncelet在1822年出版的名著 Traité des propriétés projectives des figures中有Poncelet定理的証明,不過他的Cahiers de Saratov筆記得要等到1862辭世前五年才出版。Traité des propriétés projectives des figures這本書被後世公認為是射影幾何的鉅著,前述Smith書中頁115到323有該書的部分英譯,但不包含Poncelet定理,不過這本書的第二修訂和增訂版還可以找到翻版書。另外,您高中數學中可能學過的九點圓也是Brianchon和Poncelet共同發現的,我們稍後再談。

上面提到的Pascal、Brianchon和Poncelet定理簡單漂亮,是我在高二那年迷上射影幾何的重要原因之一,不過林鶴一的這本書只談到前兩者,又因為Pascal和Brianchon定理是幾乎每一本射影幾何學入門書必說的部分,所以林鶴一的這本書並沒有教會我太多額外的東西,不過它卻是我最喜歡的日文數學書之一,因而一直帶在身邊,目前這本書在美國的時間已經長過在台灣(在我手上)的時間了。


秋山武太郎:平面立體幾何學

買秋山武太郎這本書比買林鶴一的那本早幾個月,理由非常簡單:想看看平面幾何中的那些非常有趣和非常漂亮的定理。我讀高中時,高一上平面幾何,任課老師口才非常好、非常能夠引起學生(至少是我)的興趣,上課時不時會提到其它幾何定理,其中就有九點圓和以圓(而不是圓錐曲線)為主的Pascal以及Brianchon定理,所以就去重慶南路書店尋寶。那還是聯考的時代,書店滿坑滿谷都是參考書,縱使是幾何參考書也幾乎是為聯考而寫、鮮有進入更高層次的作品。英文書方面則是大學用書,而各大學又不教幾何,當然書店也不會翻印英文的平面幾何着作,剩下來的就是牯嶺街的日本書(那時三省堂和鴻儒堂的日本新書是買不起的)。就這樣,在牯嶺街某家舊書店花了新台幣60元買下秋山武太郎的這本書。

下面是這本書,因為時間久了書脊也有點毀損;不但如此,書也開始脫頁。很奇怪的是,這本書沒有版權頁,只知道是東京共立社出版,屬於《輓近高等數學講座》系列叢書。國內台大數學系的一本說是1933年出版,而總館的一本卻是1942年版,但兩個版本都是328頁、和手上的相同。

秋山武太郎的這本書可以說是比較深入、界於一般平面幾何和射影幾何之間的著作,而且也討論到倒形法(inversion)、調和點列與交叉比(cross ratio)這兩項射影幾何中的標準論題、三角形的一些特性、作圖題、同軸圓群(coaxial circles)、以及十多頁的立體幾何。這本書在結構上有點散亂,以流暢程度而言不如林鶴一的書甚遠,好處就是它收集了很多平面幾何有名問題和定理、絶大多數都有頗詳細的証明,跳着看不會有什麼大問題。這本書最大的缺點(以平面幾何的觀點來看)就是十九世紀末到二十世紀初十分盛行的三角形幾何學(triangle geometry)着墨不多,而且沒什麼系統,不如同期的法德英文書太遠。但是,對我這個當時的高中生而言,找些漂亮定理欣賞品嚐倒也很合適。

這本書一開始就講倒形(inversion),這是一個把直線變成圓、把圓變成圓或直線的幾何變換。在平面上選一個固定點O(倒形中心)和一個正常數k2。於是平面上任何一個不是O的點X,它的反轉點是沿O到X方向上滿足OX*OY = k2的點Y;反之,Y的反轉點就正好是X。在這個轉換之下,若X在一個不經過固定點O的圓上移動,Y的軌跡就是一個圓(下左)。若X在一條不經過固定點O的直線上移動,Y的軌跡是經過O的一個圓;反之,若X在一個經過固定點O的圓上移動,Y的軌跡是經過O的一條直線(下右)。這是個很有用的幾何變換,把直線變成圓(或把圓變成直線)、或是把圓變換位置使得更容易處理等等技巧,倒形法可以簡化原本相當複雜的証明、或是導出新的証明技巧。您在複變數函數論中應該學過這項技巧,它通常叫做Möbius變換。

 

倒形部分提到一個非常有名的Feuerbach定理。三角形ABC中每一邊都有一個中點,從任一頂點到對邊的垂線定義了一個垂足(所以有三個垂足),這三條垂線交於一點(叫做垂心),從垂心到任一頂點之間有一個中點(所以也有三個這樣的中點),這九個點(三個邊的中點 – 紅色、三個垂足– 黃色、三個從垂心到頂點的中點– 淺藍色)在同一個圓上,這就是有名的九點圓(nine-point circle)。

Feuerbach定理說:九點圓和三角形的內切圓內切、三個旁切圓外切。這是一個非常漂亮的定理,因為它把三角形中很多重要的內涵連在一起。下面是書中用倒形法証明Feuerbach定理的一頁。要注意的是,九點圓並不是Feuerbach發現的,他只看到了九點圓中的三個邊上的中點和垂足,而忽略了頂點到垂心的三個中點。Brianchon和Poncelet在1820-1821的數學期刊Annales de Mathématiques中發表了一篇文章,其中九點圓只是該文中的一個輔助定理。前面提過的Smith書中自337到338有Brianchon和Poncelet文章內九點圓定理的証明。

Karl Wilhelm Feuerbach(1800-1834)在1822年出版了一本書Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks, und mehrerer durch die bestimmten Linien und FigurenRiegel und Wiesner,Nürnberg,德國),裡頭提出了這個定理,並且附了証明。前面提過的Smith書中頁339到345有Feuerbach定理原來的証明。從Feuerbach發表這個定理到目前(2020)差2年就是200年,近200年以來不同的証明不知有多少,有些短但會用到倒形法或同軸圓,不用這些高等技巧的又比較長。不論如何,到圖書館找大學幾何學1970年代以前的老教科書,多半會找到一個比較短的証明。另外,Poncelet也有一個和九點圓有關的定理:平面上四個點A、B、C和D點(任何三點不共線)組成四個三角形ABC、BCD、CDA和DAB,這四個三角形的九點圓交於一點;這個點叫做Poncelet點。

秋山武太郎這本書在倒形法這部分還証明了一個比較少見的Pappus定理。在兩個相切的定圓之間的新月形區域中作一連串兩兩相切並且和定圓相切的圓,我們考慮兩種情況:(1)最大圓的圓心在定圓的圓心連線上,(2)最大圓和定圓的圓心連線相切。把最大的圓叫做C0、次大的圓叫做C1、其它的圓依次叫做C2、C3、...等等(有無限個圓),令圓Cn的半徑為Rn、從Cn圓心到兩個定圓圓心的連線距離為Dn。在第一個情況下我們有Dn = 2n*Rn,在第二種情況下則是Dn = (2n+1)Rn。這個結果是亞歷山大(現今的埃及亞歷山大港)的Pappus(Pappus of Alexandria)在第三世紀時發現的。如果以兩個定圓的切點做倒形中心,兩個定圓會變成兩條和定圓圓心垂直的平行線,每個圓Cn經過倒形之後變成和這條平行線相切的圓,從這個關係就可以証明Pappus定理。下面是秋山武太郎書中証明第一種情況的一頁。中研院數學所圖書館裡頭曾經有一本不足七十頁、周達先生寫的《圓理奇侅》小冊子,整本書就講的是不用倒形法解Pappus問題。書是周達先生60歲修訂他在29歲(1907年)時的原著《巴氏累圓奇題解》版本,由中國科學社印行,原著可以說是中國最早的近代數學著作之一,很可惜的是,中研院圖書館系統好像已經找不到這本書了,對前輩的心血似乎不夠尊重。另外,周達先生是二十世紀知名數學家周煒良(W. L. Chow)的父親。

很遺憾的是,這本書省略了Pappus定理的推廣。如果兩個定圓不相切(假設一個圓包含在另一圓裡頭),在這種情況下就不一定有辦法在兩個定圓之間作出一連串有限個兩兩相切、而且和內圓外切和外圓內切的圓群(見下圖)。Jacob Steiner(1796 - 1863)曾經研究過這個問題,並且指出只要能找出一組這樣的圓群就會有無限組存在(這是不是有點像上一節提到的Poncelet定理),而且找出能夠有一組的條件,他用的正是倒形的技巧。証明Pappus定理時把兩個相切的圓轉換成兩條平行線,對於Steiner的問題則是把兩個包含的圓用倒形的技巧轉換成兩個同心圓,如果同心圓之間可以作出兩兩互切的圓,把這些圓倒回頭就是兩個定圓之間相切的圓。簡單的三角學計算可以得兩個同心圓之間可否作出兩兩相切的圓群,因為這兩個同心圓是從兩個定圓經倒形得來,把結果換成原來兩個定圓和倒形的參數就得到期望的結果。

取自Wiki網頁

倒形法之後本書討論共點共線,其中介紹了調和點列和交叉比這些射影幾何論題,不過大多零零散散、東一個例題西一個例題,頗沒有系統,很像當時準備聯考的大本參考書。不過作者的確提供了在圓上的Pascal和Brianchon定理的簡單証明。

下一個單元是三角形的主要性質。雖然這個單元有不少三角形的有趣特性,但十九世紀中葉到二十世紀初的三角形幾何學卻着墨不多,重點似乎是在証明的技巧而不是知識的啓發,所以書中頗多附有若干個証明的例題,在高中時代看起來有點收獲,但啟發性和引導性不很高。這個單元有Feuerbach定理的第二個証明,這個証明沒用到倒形法,但使用了Simson線等技巧,頗長的而且不如K. J. Sanjana的1924年的証明那麼初等而不用高深技巧(秋山武太郎這本書最早是1933年版,見前述台大圖書館資訊)。下面是書中証明的一頁,用到了上一頁的預備知識。

下一個部分是作圖題。題目都很典型,沒有什麼值得大書特書的地方。比較獨特的地方是作者用了相當篇幅以比較古典的方式說明了幾何三大問題中兩者是不可能的(三等分任意角,作體積為2的正立方體),但化圓為方問題因為太深就無法說了。另外,書中也大致說明了Gauss-Wantzel定理:一個正n >= 3邊形可以用直尺和圓規作圖的充分必要條件是n = 2k p1p2...pm,此地k和m是非負整數,而每一個pi都是Fermat質數。第i個Fermat質數是型式為Fi = 2(2^i) + 1的質數。到目前為止,我們只知道五個Fermat質數:F0 = 3、F1 = 5、F2 = 17、F3 = 257和F4 = 65537;日後會不會有新的Fermat質數出現並不能確定,但經過多年的電腦運算搜尋都沒發現新結果,日後出現新Fermat質數的機率不大(雖然不是沒有可能)。所以,可以用直尺和圓規作圖的正多邊形是正三角形、正五邊形、正17邊形、正257邊形、和正65537邊形。2k這一項則包含了正方形或是把一個可以作圖的正多邊形的邊"平分"的結果(譬如從正五邊形作正十邊形、再作20邊形等)。當時商務印書館人人文庫有大數學家F. Klein寫的幾何三大問題和一本正多邊形作圖(作者記不起來了)的兩本小冊子,讀起來比秋山的書舒服得多,也寫得好很多。

接下來是同軸圓群的討論,不長內容也不多,連知名的Apollonius問題(作圓和三已知圓相切)都沒講得很好,書中提到Gergonne的解法,但語焉不詳。最後的立體幾何部分只有15頁,好像有點湊數。總之,最後的同軸圓群和立體幾何的題材和內容實在不如前面的幾個部分很多。


解析幾何

瞭解綜合(也就是不用座標)幾何的初步知識之後,下一步當然是要看看如何用座標做同樣的事,這就進入解析幾何的領域。那時高中也教解析幾何,講些座標、直線和圓、圓錐曲線以及離心率等等的知識;對我來說,因為已經熟悉了射影幾何的基礎知識,這些課本裡頭的內容嫌慢了些而且也少了些,因此就打算自己先跑了。前面提過,那段日子中商務印書館重印了不少國民政府在大陸時出的書,除了人人文庫之外還有好些數學書,譬如何衍璿和袁武烈合著的《解析幾何》就是很有意思的一本,這是兩冊書的合訂本(見下面照片)。這本書是高二上學期的教師節(9月28日)放假時買的,花了新台幣37.50元,比買日文書便宜得多。

解析幾何》這本書的序是民國20(1931)年,當時何衍璿(音璇)先生是中山大學教授,但奇怪的是,書中除封面和封底的版權頁是兩位作者之外,序和其它地方的作者署名都只有何教授,不過序裡頭的確提到兩位教授因需要而編寫解析幾何教材。這本書的內容頗有1930年代前後的高等幾何(Higher Geometry)風格,但嚴謹程度卻不如當時的不少名著,如果戰後能夠重整改版,相信會更有看頭,但縱使如此,在高中時仍然看得非常過癮。有興趣的朋友不妨去大學圖書館找找William C. Graustein在1930年出版的《Introduction to Higher Geometry》這本老書;當年有幸買到了翻版書,它就從此跟着我到處跑了(讀大學、出國留學、甚至教書),現在還在書架上,但是因為年長日久、書脊和裝訂都出問題了。

解析幾何》分成上下兩卷,上卷有216頁、下卷有226頁,最後有一頁勘誤表。上卷的題材主要是平面解析幾何,比較有意思的是畫曲線的技巧、交叉比(書中用非調和複比)、環點和迷向直線。高中上解析幾何時,老師常會給一道方程式要學生畫出該方程式的圖,這本書中討論的技巧就十分有用。不過最令人感到有意思的是環點和迷向直線。

和不少二次大戰前後的解析幾何課本一樣,這本書會不時引入複數,於是很多題材變得多采多姿,環點和迷向直線就是其中之一。

首先得從齊次座標開始。平面上的座標用兩個實數表示(x,y),此地x和y分別是該點的橫座標和縱座標,這是解析幾何中耳熟能詳的觀念,但是這個方式卻無法表示無限遠。要表達無限遠的觀念,最簡單的方式莫過於使用齊次座標(homogeneous coordinates)。(x,y)的齊次座標是w(x,y,1),此地w是個非零常數。所以,一個平面上的座標對應著無限個「相同」的齊次座標;譬如,(3,4)的齊次座標為(3,4,1)、(6,8,2)、(1.5,2,0.5)、(-3,-4,-1)、(300,400,100)等等,它們都是(3,4)以齊次座標呈現的不同面貌。反之,一個齊次座標(x,y,w)所對應的點就是(x/w,y/w),此地w不是0;也就是說,齊次座標(4,5,3)對應的、在平面上的點是(4/3, 5/3)。

因為齊次座標(x,y,w)對應的平面點座標是(x/w, y/w),而且當w趨近於零時(x/w, y/w)就會沿(x,y)方向愈走愈遠,當w為0時就到達沿(x,y)方向(看成向量)的無限遠的點。所以,(x,y,0)就是沿(x,y)方向的無限遠點的齊次座標,也就是說當第三個座標值是0時,那就是在前兩個座標值方向(視為向量)的無窮遠點。因為和一條直線平行的所有直線斜率都相同、也就是方向都相同,所以平行線都經過在無限遠的同一點;換句話說,平行線在無限遠相交。那麽所有在無限遠的點的「樣子」是怎樣的?答案是一條直線、也就是在無限遠的直線,我們簡稱做無限遠直線。道理是這樣的,因為每一條直線都只有一個在無限遠的點,也就是任一直線只會和無限遠點的集合有一個交點,那麽在無限遠的點就只能是一條直線了。回到座標的課題,x = 0時是y軸、y = 0時是x軸;在齊次座標(x, y, w)中,w = 0時是沿(x, y)方向的無限遠點,所以w = 0時的點就在無限遠;要記住的是,一個齊次座標乘上一個不爲0的數時仍然表示同一個點。另外,(0,0,0)在齊次座標中不是個正確的點(它不存在),座標原點是(0,0,1)。

有了這個概念,我們就可以說環點(circular point)了。考慮圓的方程式(沒有xy項、而且x2和y2的係數相同):

我們想了解這個圓和無限遠直線的交點。您可能會說,圓都在有限區域,怎麼可能會和無限遠直線相交呢?這是只用實數時的情況,但是用複數就會有了,而這也是十九世紀中葉到二十世紀初時的普遍現象:使用複數。為了要談無限遠,我們得用齊次座標;把x/w和y/w分別代入上面的圓方程式、再去掉分母得到下面在齊次座標下的圓方程式,請注意到各項的次數(乘冪)都是2,這就是齊次(乘冪)的意義。

令w為0就可以求出圓和無限遠線的交點:

當然上式相當於(因為圓方程式中a不能是0):

如果用實數來看唯一的解就是(0,0),於是齊次座標為(0,0,0),這不是一個齊次座標系統中的點。如果用複數,那就有兩個解(1,i)和(1,-i),它們的齊次座標為(1, i, 0)和(1, -i, 0)。要注意的是,在齊次座標下,乘上任何非0的值不會改變該點的位置;正因為如此,上式的解乘上i得到(i, -1, 0)和(-i, 1, 0),這兩者分別與(1, i, 0)和(1, -i, 0)表示相同的點。

(1, i, 0)和(1, -i, 0)這兩個任何圓和無限遠直線的交點叫做環點(circular point)。

環點為什麼重要?簡單地說,任何一條二次曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)只要經過一個環點就一定是個圓,而且也會經過另一個環點

二次曲線的一般式如下:

再轉換成齊次座標:

如果這條二次曲線經過環點,代入環點座標(1, i, 0)和(1, -i, 0)後上式會是0,所以我們得到:

這道式子可以改寫成(a - c) + 2bi = 0。這是為0的複數,因此它的實數部份a - c和虛數部份2b都得是0;換言之,a = c而且b = 0,於是這條二次曲線就是個圓。

再看環點的另一特性,我們研究通過環點的直線。直線的齊次座標方程式世下:

我們假設a和b都不是0,這條直線的斜率為-a/b。如果這條直線通過環點(1, i, 0),代入上式得到a + bi = 0,於是斜率為-a/b = i。同理,若通過另一環點(1, -i, 0),直線的斜率為-i。所以平面上通過環點的直線斜率為i或-i。因為這兩個斜率在平面上沒有對應的方向,所以經過環點的直線叫做迷向直線(isotropic line)。若b = 0,直線方程式變成ax + cw = 0,代入環點座標(1, i, 0)得到a = 0;若a = 0則會導出b = 0。所以a或b中有一者為0,就兩者都是0,根本就不是正確的直線方程式了。

平面上兩個點(u, v)和(g, h)之間的距離是(u-g)2 + (v-h)2的平方根。如果這兩個點在同一條迷向直線上呢?結果會出人意料之外。因為迷向直線的斜率是i或-i,我們用前者討論,於是直線的方程式為y = ix + c、或ix - y + c = 0。若(u, v)在這條直線上,代入直線方程式得到:

若(g, h)也在同一條迷向直線上,代入直線方程式得到:

兩式相減後得到

移項:

平方後是

於是得到

這不是說(u, v)和(g, h)這兩個點之間的距離是0嗎!所以,在同一條迷向直線上的兩個點之間的距離為0

我買何衍璿和袁武烈這本書的時間應該是在高中學座標和解析幾何前後(現在的課綱和以前是大大不同了),課本中的內容了無新意,在教師節那天逛商務印書館時發現的、花了我$37.50新台幣,那時候吃碗陽春麵加片(不是塊)肉也不過幾(少於五)塊錢,買這本書是很肉痛的,但長輩就是給了我錢去買。當時吸引我的就是像上面提到的無限遠線、環點、迷向直線這些稀奇古怪的東西。現在去書店(包含誠品、三民)看數學書實在沒多大趣味,書變多了、但內容卻乏善可陳,真的沒多大看頭、不如幾十年前多采多姿。

附帶一提的是,差不多同時我也買了劉毓璋先生寫的《解析幾何學詳論》三冊,其中第二冊講圓錐曲線(頁298到630),第三冊在講完坐標軸變換後又用了40頁講一般的二次曲線。這三冊連附錄共885頁,第一(上)冊在1959年1月23日出版、同年5月28日出第二(中)冊、再在同年9月16日出第三(下)冊。當時(1959年、民國48年)資訊和資源相當匱乏,出這本大部頭書是相當不容易的;書的內容有很多題目、頗像題庫,對準備考試非常有用,但在思想構架和觀念啟發上卻相當不足,在這方面有點像前面介紹過的秋山武太郎的着作。原本的三冊平裝書爛到不成樣,後來在網路上買到品相十分好的三冊合訂精裝本(1974年12月15日出版)。坦白說,這只是買回來留念而已,不曾讀過、因為沒必要讀了。記得劉毓璋先生曾經在台北工專(現在的北科大)教書,恐怕早就退休了。

 


結語

這篇長文記述了三本讀高中時買的數學(都是幾何)書、並且大致介紹了書的內容。幾十年過去,課綱不知道變了多少次,而且課本的內容也不斷更新,今天的高中生恐怕不會再學到我在高中時學的內容。然而,這幾本書的內容和我讀高中時的數學課內容也沒多大關聯,不過目前書店中或許也找不到這些類型的書了。固然是潮流變遷,但我總以為讀數學是享受它的美、而不是拿來應付考試的,至於什麼是數學的美還真是難以想像和說明,這就留給讀者去回味吧!話說回頭,本文中提到不少平面幾何和解析幾何的定理,希望您能體認到它們的美。

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引用方式:冼鏡光,三本高中時買的幾何書,DCView.com達人部落格(http://blog.dcview.com/article.php?a=Um5XMVAxCzgGYw%3D%3D

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