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基礎知識：什麼是光圈f值？
冼鏡光
May 6, 2010上線
各大論壇都有若干容易引起論戰的課題，撇開相機與鏡頭誰優誰劣的論戰，比較常見而且與基本觀念有關的有：EV的定義含ISO、f值是焦距除以前端透鏡直徑、景深和片幅無關、放大率和片幅與解析度有關等等。最近EV是否包含ISO敏感度的論戰暫告一段落（參看老生常談：什麼是EV？一文），但其它的還是不斷出現，而且論戰的結果通常是各說各話，這一波爭論冷卻後不久、下一波再起時各據一方的似乎還是同一批人，對的還是對的、錯的還是錯的。我想這是論壇的常態，畢竟論壇只是個擺個龍門陣七嘴八舌的地方，但卻可能會把原提問人或初學者弄得不知所從。
從兩年多前開始寫這個部落格起，我就發願要用一系列文字導正一些錯誤的觀念，但是由於時間、預備知識、甚至於考慮到這些文字並非普羅大眾口味等因素，寫這些文章變成一件難事。結果是只好耐著性子，按步就班把一些基本觀念先整理好，再慢慢一個課題接一個課題解決，而且也得考慮到曲高和寡的因素不能出現得太頻繁，所以這就是基礎知識系列文章篇數少、但文章長的根本原因。縱使如此，這一系列文字仍然會陸續出現，期望時間長了之後可以發展成一本比通俗書高一點、但又不是學術型的著作。
這一篇要探討的是光圈f值是什麼。一提到光圈f值，論壇上常見的說法是f值等於焦距被透鏡直徑除的商，人們這麼說有很大的可能是不少攝影書就是這樣寫的。也有人說這不對，因為一個鏡頭有很多片透鏡，所以光圈f值是焦距除以第一片透鏡的直徑。事實上，就相機鏡頭而言，這兩個說法都不對，因為鏡頭的光圈f值本來就不是這樣定義的，所以本文打算從解釋為什麼這兩個說法都不對出發，再引出正確的定義，然後透過這個定義說明微距鏡頭掉光圈的理由，最後用一些有關光圈f值的基本理論做結束。
常見的說法
如果有一片直徑為d焦距為f的凸透鏡，教科書告訢我們這片透鏡的f值是f/d；好比說，一個直徑為50mm焦距是100mm的透鏡的f值就是f/2 = 100/50。於是不少H引伸這個觀念，把一個鏡頭（其實是最大光圈）的f值定義成f/d，此地d變成是鏡頭第一片透鏡的直徑。這個算法有時候還相當準，下左照片是Nikon的105mm f/2.5，最前方透鏡的直徑大約是40mm，因為焦距是105mm，用上面的式子算出來的f值是105/40 = 2.6，相當接近實際的f/2.5！再看另一個例子：下右是Panasonic FZ-10的Leica變焦鏡頭，它的焦距是從6mm到72mm（相當於135底片的35mm到420mm），而且在所有焦距下的最大光圈都是f/2.8。看出問題了嗎？這個鏡頭第一片透鏡的直徑也大約是40mm，當焦距是72mm時算出的f值是f/1.8 = 72/40（光圈比f/2.8的至少大一級），但當焦距是6mm時算出的f值是f/0.15 = 6/40，這未免有一點不可思議。另外，這個鏡頭的最大光圈永遠是f/2.8，不會隨焦距而改變；但若用f/d這個式子時，焦距f會變，但直徑d卻不會變，於是最大光圈會隨焦距改變，這當然不符合實際狀況。由此觀之，我們不能直接引用教科書中單透鏡的公式。
上面的說法（f值等於焦距除以第一片透鏡直徑）最多也只在最大光圈下有點意義，一旦收小光圈這個說法就不對了，因為收小光圈並不會改變焦距和前方透鏡的直徑，當然也就不會改變f值。
另一個說法
另一個常看到的說法是：f值應該是焦距除以光圈開孔的直徑；這是上述說法的延伸，因為上面的說法只有在光圈全開時才管用。當然，這樣的定義仍然不正確，我們看看為什麼。下左是一個大片幅相機鏡頭Carl Zeiss Jena Tessar 190mm f/4.5，把前段轉下來就會看到它的光圈葉片（下右）：
下左是光圈開孔最大的樣子，直徑大約是33mm，用上面的算法得到f/5.7 = 190/33，比標示光圈f/4.5小了近一級。接著把光圈收到f/5.6，開孔的直徑大約是27mm，於是算出的結果是f/7 = 190/27，還是小了近一級。
不但如此，這個說法也無法合理解釋變焦鏡頭的情形，因為變焦時焦距會變，但光圈葉片的開孔卻不會改變！
鏡頭的入瞳孔
要了解f值的正確定義，我們得先了解鏡頭的入瞳孔。下左照片是Nikon 105mm f/2.5，下右是Nikon 105mm f/1.8；這兩張（事實上本節所有的）照片是把相機與被攝体（各個鏡頭）的距離固定而拍攝的，表示站在同一個地方看這些鏡頭。照片中鏡頭的光圈都收到f/5.6，而且都對焦到無限遠。很明顯地，我們「看到」這兩個鏡頭的光圈開孔一樣大，雖然f/1.8的鏡頭口徑比較大。所以當焦距相同時，相等的f值會「看到」相同大小的光圈開孔。
再看不同焦距的情況，下面照片自爬茈k是Nikon AFD 24mm f/2.8，Nikon AFD 50mm f/1.8與Nikon 105mm f/2.5，光圈都定在f/5.6時的開孔、而且都對焦到無限遠。我們看到24mm在f/5.6時的開孔小於50mm在f/5.6時的開孔，而後者又小於105mm在f/5.6時的開孔。不但如此，50mm開孔的直徑大約是24mm開孔直徑的兩倍（當然焦距也幾乎是兩倍），而且105mm的孔徑也大約是50mm孔徑的兩倍。
要注意的是，這些孔徑是我們肉眼「看到」的光圈開孔直徑，而不是鏡頭內光圈葉片所構成的「實際」直徑，因為在光圈葉片與我們眼睛之間有若干透鏡放大或縮小了光圈葉片所造成的開孔，這個「看到」的開孔就叫做鏡頭在該光圈下的入瞳孔（entrance pupil）。
要用業餘方式很準確地量出入瞳孔的直徑不很容易（見下文）。不過有些鏡頭的光圈是裝在最前方，老鏡叢談系列的Dallmeyer Rapid Landscape和Sima 100mm f/2柔焦鏡頭，以及相機鏡頭系列的古典設計、Petzval、Rapid Rectilinear、Triplet與Tessar中都介紹過這樣的鏡頭。因為光圈在最前方，光圈開孔沒有經過透鏡放大或縮小，所以光圈開孔的直徑就是眼睛看到的大小；換句話說，這類型鏡頭的入瞳孔直徑就是光圈開孔直徑。下左是Sima 100mm f/2柔焦鏡頭裝上f/4光圈的樣子，這個光圈開孔是25mm左右，所以裝了f/4光圈後的入瞳孔直徑就是25mm。
變焦鏡頭的入瞳孔
接下來，我們看看變焦鏡頭在變焦時入瞳孔的變化。我們用一個恆定光圈的手動鏡頭Nikon 25-50mm f/4做例子（見下面左上照片），用恆定光圈鏡頭的理由是變焦時光圈f值不變，因而比較容易討論。下面右上照片是把鏡頭對焦到無限遠、焦距定在25mm、光圈定在f/4拍攝的，尺上量出來的入瞳孔直徑大約是6mm多一點；如果焦距定成35mm，會量出8mm（下左照片）；再換成50mm時則是11mm（下右）。這告訴我們一點，鏡頭在變焦時，因為在光圈葉片前方各透鏡相對位置的改變，會讓入瞳孔隨焦距增加而變大。
上面量出來的入瞳孔直徑並不十分準確，次要的部份是尺不一定正好在直徑的位置、而且用肉眼讀出尺上的刻度也不會很準，但關鍵所在是尺到入瞳孔的距離。我們不知道入瞳孔在鏡頭中的位置（不過多半會在第一片透鏡後方某處），但是尺只能放在鏡頭前緣，於是尺和入瞳孔位置愈遠就愈不準確。這個道理並不難理解，我們在量長度時總是把尺貼著物體，而不會離物體一段距離量的，不是嗎？那麼為什麼上面量出來的直徑會比入瞳孔直徑短呢？請看下圖，R代表未知長度的入瞳孔直徑，最右邊黄點是眼睛（或相機）的位置，尺的位置距入瞳孔x、距眼睛d，r是從眼睛位置看出來的尺上讀數。由相似三角形，我們得到R/r = (d+x)/d，也就是R = r(1+x/d)。因此，x趨近於0或者是d趨近無窮大時觀察到的r就趨近於真正的入瞳孔直徑；不但如此，因為1+x/d大於1，R就恆大於r，也就是觀察到的入瞳孔直徑r永遠比實際入瞳孔直徑R來得小。這是個很難克服的障礙，因為我們不知道入瞳孔的真正位置，所以x不太可能是0；又因為器材上的限制，我們也不可能走到很遠（亦即d非常大）的所在拍攝。所以，在拍攝時相機和尺的距離愈遠愈好，於是x/d的值就比較小，使R與r的差異降低。
外掛鏡頭對入瞳孔的影響
因為入射瞳孔是被在光圈葉片前方透鏡放大或縮小後的像，而不是光圈的「實際」開孔直徑，這對使用裝在鏡頭前方的外掛鏡頭有很重要的影響。這些鏡頭都不是為SLR/DSLR設計的，但當然可以裝在SLR/DSLR上使用。下左照片是Nikon WC-E80 0.8X廣角鏡頭，下右是Nikon TC-E17ED 1.7X、我用過最好的望遠鏡頭。
下面中間是Nikon AFD 50mm f/1.8在f/5.6的入瞳孔的像，在這個鏡頭前方加上Nikon WM-E80 0.8X的廣角轉換鏡頭得下左的結果，入瞳孔的像是不是小了一些？也就是說，這個0.8X的廣角轉換鏡頭把原鏡頭的入瞳孔縮小了。在鏡頭上加了Nikon TC-E17ED 1.7X望遠轉換鏡頭得到下右的結果，入瞳孔被放大了！
這個例子告訴我們，加上廣角轉換鏡頭後，入瞳孔會被縮小；反之，加上望遠轉換鏡頭後，入瞳孔會被放大。
f值的定義
了解入瞳孔之後，我們就可以定義f值了。當鏡頭對焦在無限遠時，f值的定義如下：
這個定義沒有單透鏡的簡潔，而且入瞳孔的直徑也不容易求出來，不過這才是正確的定義。
雖然前面觀察Nikon 25-50mm f/4的入瞳孔直徑並不精確，但也可以拿來驗証一番。首先，在焦距25mm光圈全開時測得入瞳孔直徑是6mm多一些（就用6mm好了），於是計算出來的最大光圈f值是f/4.2 » 25/6；當焦距為35mm時測得8mm，從上式得到f/4.4 » 35/8；焦距變成50mm時測到11mm，所以f值是f/4.5 » 50/11。這些值都和最大光圈的標示值f/4很靠近。
從這個例子我們知道：當鏡頭推到望遠端時，因為焦距增加而同時放大了入瞳孔直徑；反之，當鏡頭拉回廣角端時，焦距變短而同時把入瞳孔變小。因此，f值定義中的分子與分母是同時增加或同時減少的。有些鏡頭在設計時可以做到焦距與入瞳孔以同樣比率增減（譬如上述的Nikon 25-50mm f/4），於是變焦時f值不變，這就是恆定光圈變焦鏡頭。如果無法使焦距與入瞳孔以同樣比率增減，就得到變動光圈變焦鏡頭，絕大多數中階以下和消費型數位相機的鏡頭都是這一類。
廣角和望遠轉換鏡頭
我們曾經在DC望遠鏡頭倍率不足的迷思這篇文章中談到過：裝在鏡頭前方的轉換鏡頭（converter lens）是個無焦系統（afocal system），它的倍率是鏡頭（和軸線平行的）入射光束直徑D被出射光束直徑d除的結果，亦即D/d。下左是望遠轉換鏡頭，它的入射光束直徑大過出射光束的直徑，所以倍率大於1，常見的有1.4X、1.5X、1.7X、2X和3X這幾種；下右是廣角轉換鏡頭，它的入射光束直徑小於出射光束的直徑，所以倍率小於1，常見的有0.8X、0.7X、和0.66X這幾型。
前面也看過轉換鏡頭會放大或縮小鏡頭的入瞳孔，此地看看這個現象的原因。如果入瞳孔直徑是d，轉換鏡頭的倍率是r = D/d，於是被放大的入瞳孔直徑是D = r´d（請看上圖），因此倍率為r的轉換鏡頭會把鏡頭的入瞳孔直徑放大r倍；換言之，如果原鏡頭的入瞳孔直徑為d，裝上倍率為r的轉換鏡頭後，整個組合的入瞳孔直徑為r´d。另一方面，若原鏡頭的焦距是f，裝上倍率為r的轉換鏡頭後，整個組合的焦距變成r´f。於是整個組合的光圈f值是(f´d)/(r´d) = f/d，這表示裝上轉換鏡頭之後不會改變原鏡頭的光圈f值。
SLR/DSLR用、裝在鏡頭和機身之間的增距鏡（teleconverter）在光圈葉片後方、於是不會影響入瞳孔直徑，但卻會造成失光而使光圈值降低（譬如說，1.4X的增距鏡會掉1.4倍，於是f/2.8變成f/4、f/4變成f/5.6等等）。因此，在不改變光圈f值的前提下，裝在前方的轉換鏡頭是較有優勢的，雖然影像品質一般會比較低。
對焦到近距離的影響：有效f值
前述的光圈f值是在鏡頭對焦到無限遠時定義的，但在對焦到近距離時這個f值就不很正確；譬如說，一個標了f/2.8的微距鏡頭在近距離光圈全開拍攝時，相機顯示的光圈f值可能會是f/3.5或更小。這有什麼不對嗎？坦白說，這是正常現象，因為標示的光圈f值是對焦到無限遠定出來的，對焦到近距離時的定義稍許不同。
這個比較廣義的定義叫做有效光圈f值（effective aperture）、簡稱做有效f值，（effective f-number或effective f-number），也叫做實際光圈f值或實際f值，它的定義如下：
上面的定義用「像距」取代原本f值中的「焦距」（請看基礎知識：什麼是焦距？這篇文章中有關焦距、物距和像距的說明）。對焦到無限遠時，像距和焦距相等，於是有效f值等於標示f值；對焦距離愈來愈近時像距漸漸增加，使有效f值大於或等於f值，而且只有對焦到無限遠時兩者才會相等，這就是用微距鏡近拍時實際最大光圈f值（亦即有效f值）常小於標示最大光圈f值的理由。因為當對焦到無限遠時像距和焦距相等，f值的定義是上述有效f值定義的一個特例。
從有效f值的定義我們得到一個有用的結果。在使用微距鏡頭達到1：1放大率時，像距和物距相等，都等於焦距的兩倍（請看近拍（最短）對焦距離的迷思中最後的技術性討論）。所以，若一個鏡頭的焦距為f、入瞳孔直徑為d，它的f值是f/d（對焦到無限遠）；因為在1：1放大率時像距是焦距的兩倍、亦即2f，於是在1：1放大率時的有效f值是(2f)/d = 2(f/d)，也就是對焦在無限遠時f值的兩倍（亦即兩級光圈）！譬如說，一個標示最大光圈為f/2.8的鏡頭在1：1放大率之下就變成f/5.6 = 2.8´2了。同理，在1：2放大率時像距是焦距的1.5倍，所以f值會掉1.5倍，比一級光圈（1.4倍）大一點點。
有效f值用到像距，但像距幾乎是得不到的值，所以我們得要有個比較容易掌握的式子。因為有效f值只在近拍（亦即像距較大）時才有大影響，而近拍的主要因素是放大率，所以我們不妨把有效f值改用放大率表示。首先，放大率m是像距被物距除的商，亦即m = v/u（請看近拍（最短）對焦距離的迷思的討論），此地u和v分別是物距和像距。從m = v/u得到u = v/m，代入透鏡公式1/u + 1/v = 1/f（f是鏡頭焦距）得到v/f = 1+m。如果用N表示標示光圈f值，亦即N = f/d，此地d是入瞳孔直徑，於是d = f/N。在放大率m時的有效f值是N’ = v/d，代入d的值就得到N’ = N(1+m)。
所以，已知鏡頭的標示光圈f值N和放大率m，有效f值就是N(1+m)；好比說，若光圈f值是f/5.6而且打算用1:2（0.5X實物大小）拍攝，於是m = 0.5而有效f值為5.6(1+0.5) = 8.4，再從有效f值可以推算快門速度。在一般拍攝時，放大率m都很小、小於0.1是常事，所以光圈f值和有效f值幾乎相等，因而對曝光沒多大影響。
有效f值在使用大型相機時十分有用，因為可以用蛇腹延伸的長度（差不多就是像距）來調整曝光，不過在近代有TTL測光的機型上重要性就大不如前了，因為測光表可以從鏡頭測出亮度的變化、從而調整快門速度。然而，很多人用標了f/2.8的微距鏡頭近拍時卻發現最大光圈居然在f/4上下，畢竟心存狐疑、覺得鏡頭是否出了問題，所以希望上面的說明可以解開這個迷團。
還有一個重點得稍做說明。上面的講法是以移動整個鏡頭對焦的設計為準（見基礎知識：什麼是對焦？的說明），因為這類型鏡頭在對焦時不會改變光學結構、焦距等各項光學要素當然也不變。於是，當像距增加時，表示鏡頭到底片的距離增加，由於光的強度和距離平方成反比的定律，到達底片的光強度隨之降低，於是f值就會變大，這是個很「直覺」的解釋，但文末還有更嚴謹的說明。
但若是使用只移動鏡頭前段或後段對焦、甚至於內對焦，在對焦時各透鏡的相對位置改變，當然也改變了鏡頭的光學要素、特別是焦距。事實上，近代微距鏡頭的設計很多是靠內對焦機制，在近距離拍攝時縮短焦距達成1：1的放大率。正因為焦距縮短了，在該焦距下達成1：1放大率的像距也降低，自然有效f值也低些，這就是近代微距鏡頭在1：1時的有效f值不會是對應f值兩倍的理由。下表是Nikon DX Micro Nikkor 85mm f/3.5G ED VR在最大光圈f/3.5下有效f值隨放大率變化的情形。在1：10時相機測得f/3.5，到1：2時掉成f/4，在1：1時變成f/5；換言之，在1：1時的有效f值大約是標示f值的1.4倍（5/3.5，掉了一級光圈），而不是兩倍（掉兩級光圈）。
未完待續，下篇在此
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引用方式：冼鏡光，基礎知識：什麼是光圈f值？，DCView.com達人部落格（http://blog.dcview.com/article.php?a=ATYJawxoAjM%3D）
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