DC望遠鏡頭倍率不足的迷思
發表於2008.03.31 13:31

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DC望遠鏡頭倍率不足的迷思
 
冼鏡光
 
March 31, 2008上線
January 23, 2012修訂
 
 
            常見到新手要買(DC用的)鏡頭前做了許多功課但不得要領,然後上網提問,於是老手提醒新手:這個Olympus TCON-14B(舉例而言)不錯,雖然手冊上說是1.45X,但實測只有1.3X多一些。這個論題(或質疑)在網路論壇上常出現,而且通常還是由常客或有影響力的網友提出上述的觀點(可能還附了測試的網頁),於是一傳再傳,不少人就認為廠商把數字灌水。有些懂光學的網友質疑,因為鏡頭通常以無限遠為校正點,這些照片的攝影距離夠不夠長啊?但是一張照片勝過千言萬語、也就是常聽到的有圖有真相,讓人很難辯駁。
 
            本文的目的在分析這個論題,看看它是個真相還是做錯了實驗(或測試)。因為問題本身是個攝影光學的論題,所以免不了會用到些基本光學知識以及演算(當然也就比較技術性),為了閱讀方便我通常只寫出計算的結果,然後從這個結果導出結論。如果對細節不感興趣,看看這些結論(通常用紅色粗體字表示)就足以了解問題的真相,而且還可以看到一些有關DC用望遠鏡頭的特性。另外,本文是由拙著冼鏡光,數位相機:觀念、技巧與原理的第J.13與J.14兩章改寫而成,要了解細節以及更多相關內容與討論的朋友,請參看書中單元J的講解。
 
 
所謂的「真相」
 
            在討論正題之前,我們不妨看看這個「真相」是怎麼來的。首先選一個被攝體,把相機(DC與DSLR都行)的鏡頭焦距推到最長端拍一張照片,裝上望遠鏡頭(不改變拍攝位置)之後再拍一張。看照片時分別計算被攝體寬度(或高度)所佔的像素數目。如果不加望遠鏡頭時有a個像素,加了望遠鏡頭後有b個像素(當然b > a),於是老手們就說該鏡頭的倍率是b/a,若這個值小於鏡頭的標示值,就懷疑廠商在倍率上灌水。
 
            還是看個例子好些。我選用Panasonic FZ-30(解析度為3264 x 2448)以及三個相當知名的好鏡頭,下面照片中自左而右是Olympus TCON-14B 1.45X、Olympus TCON-17 1.7X與Nikon TC-E17ED 1.7X,因為Panasonic FZ-30的最長焦距是420mm(135片幅,下同此),這三個鏡頭分別把FZ-30的最長焦距延伸到714mm = 420 x 1.7、609mm = 420 x 1.45與714mm。
 
 
 
 
            被攝體是在一個觀光地區百年以上的老燈塔,它離拍攝地點約1公里多,對相機的對焦系統而言幾乎可以說是在無窮遠了。下面是用Panasonic FZ-30在焦距420mm拍攝的,燈塔沿白色底座從左邊到最右邊有733個像素。請注意,差少數幾個像素對計算的影響不大。
 
 
 
 
            在Panasonic FZ-30上加Olympus TCON-14B 1.45X再拍一次得到下面照片,燈塔大了一些,從左到右有1007個像素,於是算出來的倍率是1.37X = 1007/733,小於1.45X的標示。看來很多老手與網站的言論還真有點道理。
 
 
 
 
            把Olympus TCON-14B 1.45X換成Olympus TCON-17 1.7X拍到下面的照片,因為1.7X的倍率大過1.45X,燈塔又大了些、從左到右有1162個像素,於是算出來的倍率是1.59X = 1162/733,還是小於1.7X的標示。
 
 
 
 
            改用最頂級的Nikon TC-E17ED 1.7X拍一次得到下面的照片,燈塔似乎比Olympus TCON-17拍到的稍許大一些,從左到右有1239(多了77)個像素,於是算出來的倍率是1.69X = 1239/733,只比標示的1.7X小一丁點,可以看成是1.7X了。
 
 
 
 
            難道Nikon在標示倍率時比Olympus誠實?還是有什麼原因使兩個1.7X的鏡頭有這樣的差異?是不是這個實驗做錯了呢?廠商又是用什麼方式定出倍率的呢?在回答這些問題之前,我們不妨用不同的機型配同一個鏡頭多做幾個實驗,相信就可以看出一些蛛絲馬跡。
 
 
更多「真相」
 
            上一節是拍幾乎在無窮遠的物體,接下來我們看看在短距離下的結果;也許會認為太短的對焦距離不可能求出正確的倍率(因為焦距等因素是以對焦在無窮遠校正),但這不會有太大的影響,因為我們的著眼點是在發現差異,而不是在估算倍率。場景是這樣的:平台上放一把尺,在距離5公尺的地方用相機的最長焦距拍一張照片(見下面的第一張),裝上望遠鏡頭後再拍一張(第二張);此地望遠鏡頭是Olympus的TCON-14B 1.45X,用5公尺的原因是它差不多就是相機裝上TCON-14B後的最短對焦距離。計算倍率的方式,是在用望遠鏡頭拍攝的畫面中找出足夠寬的一段(下面照片是標了10與22的線)、並且算出在此之間的像素數目,令這個值為b;接著在沒有用望遠鏡頭拍攝的畫面中找出相同的標示、並且算出像素數目,令為a,於是計算出來的倍率就是b/a。這個算法與上一節的方式相同,只不過被攝體從1公里多降低成5公尺而已。
 
 
 
 
            測試用器材是高變焦率機型Canon Pro90 IS(10X)、Olympus C-2100(10X)、Panasonic FZ-30(12X)、與Sony FD-91(14X),我還用了Nikon D70加上以下鏡頭的組合:Nikon 180mm f/2.8、AF Micro Nikkor 200mm f/4、Nikon AFS 300mm f/4、Nikon AFS 300mm f/4加上TC-E14 II、Nikon AFS 70-200 f/2.8、Nikon AFS 70-300 f/4.5-5.6G VR、與Sigma 70-300 f/4-5.6 APO。下表是計算結果,所有數值都從小數點後第三位四捨五入到第二位。Olympus TCON-14B的標示倍率為1.45X,但下表中四台DC(Canon Pro90 IS、Olympus C-2100、Panasonic FZ-30與Sony FD-91)算出的倍率都低於1.33X,然而在DSLR上倍率都在1.4X以上;不但如此,有四個組合的計算倍率是1.46X!更奇怪的是,兩支200mm的鏡頭(AF Micro Nikkor 200mm f/4與Nikon AFS 70-200 f/2.8)算出的倍率居然會差0.02X,雖然說這可能是觀察或計算誤差,但同一個Olympus TCON-14B在不同機型下會產生那麼大差異的計算倍率,很可能就會讓我們懷疑這個計算方式是否有問題。事實上也正是如此,這是一個不正確的估算倍率的方式!用不正確的方式估算倍率非但得不到真相,還會模糊了真相。
 
 
 
            接下來的幾節,我打算從倍率的定義開始,一步一步地揭開迷底。
 
 
倍率的定義
 
            DC用的望遠鏡頭基本上是兩組鏡片,在前面的是凸透鏡組、在後面(裝相機端)的是凹透鏡組(請看下面的圖),這兩組透鏡得滿足一個很重要的關係:它們有一個共同的焦點。如果凸透鏡的焦距是f1、凹透鏡的焦距是f2f2 < f1),於是這兩個透鏡的共用焦點F就是在凸(凹)透鏡右邊距離為f1f2)的那一個。從左邊進入鏡頭並且與軸線平行的光線到達凸透鏡時會被折射向F前進,但折射後的光線會到達凹透鏡、延伸後經過凹透鏡的焦點F,於是經過凹透鏡折射後又會變成與軸線平行。所以,與軸線平行的入射光經過鏡頭後不會聚焦、而是變成平行光線離開;換言之,DC用的望遠鏡頭沒有焦點,或說是焦點在無窮遠,因此是一個無焦系統(afocal system)。
 
 
 
 
            從上圖可以看出,與軸線平行直徑為D的光束經過鏡頭後,會變成一道直徑為d的光束離開,而且d < D;如果仔細些,不難從相似三角型的關係得到D/d = f1/f2的結果,這個D/d = f1/f2值就是該望遠鏡頭的倍率。所以,如果凸透鏡焦距(f1)是凹透鏡焦距(f2)的三倍,就會使入射光直徑是出射光直徑的三倍,於是這個望遠鏡頭的倍率就是3X。從這個定義來看,望遠鏡頭的倍率是該鏡頭的一個內在(intrinsic)特性,與相機上使用的鏡頭無關。
 
 
倍率對鏡頭焦距的影響
 
            望遠鏡頭的倍率如何影響焦距呢?如果把一個倍率為P的望遠鏡頭裝在一個焦距為f的鏡頭前方,於是該組合的焦距是P*f,這是個耳熟能詳的事實,我們看看為什麼。
 
            下圖中T是一個倍率為P = D/d的望遠鏡頭,而且是裝在焦距為f的鏡頭上。與鏡頭軸線平行的入射光束經過望遠鏡頭T的折射後會變成較小的光束,然後進入相機鏡頭,再被折射到達相機鏡頭的焦點。我們可以把與軸平行的光線向右延伸、也把到達相機鏡頭焦點的光線往後延伸,這兩者會在某處相交,於是我們可以這樣想:與鏡頭軸線平行的光線經過該交點後會折射到達焦點。如果把這些交點視為一個虛擬的透鏡(圖中黃色的部份),於是上面的說法就相當於:與軸線平行的入射光經過虛擬透鏡折射後會到達原相機鏡頭的焦點;換言之,這個虛擬透鏡代表了原來(望遠鏡頭加相機鏡頭)的組合。
 
 
 
 
 
            我們用F表示虛擬透鏡的焦距,也就是從虛擬透鏡到焦點的距離。利用相似三角形的關係,我們會得到F/f = D/d = P,於是F = P*f;也就是整個組合的焦距F是倍率P與相機鏡頭焦距f的乘積!
 
 
望遠鏡頭的成像方式
 
            望遠鏡頭的成像方式是解開謎底的關鍵,我們還是從一個實驗開始。我們用Olympus TCON-14B 1.45X望遠鏡頭,Nikon AF 50mm f/1.8 D標準鏡頭,與一部Nikon AF機身,因為我們並不真正拍攝照片,所以底片或數位機身不會有什麼差異。
 
            首先,把加上50mm鏡頭的相機固定在腳架上,並且以不遠處的一個物體對焦,查一下對焦環我們發現對焦距離約略是1.2公尺(下左的照片);然後,不變動拍攝位置、裝上TCON-14B對相同被攝體對焦,得到對焦距離是0.65公尺左右(下右的照片)。加上望遠鏡頭後的對焦距離居然變短,為什麼?關鍵所在,就是加裝了TCON-14B望遠鏡頭後、50mm f/1.8所看到的被攝體,與沒裝TCON-14B時所看到的被攝體不是同一個,而且裝了TCON-14B後所看到的被攝體比較近,才會出現比較短的對焦距離!不是嗎?
 
 
 
 
            下圖中的望遠鏡頭左方有一個長度為D的被攝體,它的像可以透過追蹤兩條從被攝體頂端出發的光線找出來。第一條光線從頂點出發並且與鏡頭軸線平行,為了方便叫它做軸線光;第二條經過左邊透鏡的一個焦點、折射後與軸線平行、再折射一次會經過第二片透鏡的一個焦點,所以我們叫它做焦點光
 
 
 
 
            先看軸線光,它從被攝體頂端出發並且與鏡頭軸線平行,到達第一片(凸)透鏡L1經折射後會遇到第二片(凹)透鏡L2,經凹透鏡折射後的出射光會與鏡頭軸線平行,這一點已經講過了。再看焦點光,它從物體頂端出發經過凸透鏡L1左邊焦點到達L1後、出射光會與鏡頭軸線平行,再到達凹透鏡L2經折射後會發散,於是折射光的延長線會通過透鏡L2的(左)焦點。這兩道光線的延長(虛)線交點就是被攝體在這個望遠轉換鏡頭之下的像,因為這個像是由光線的延長線構成,它是個虛像。所以,上面照片中加裝了TCON-14B之後,50mm f/1.8用來對焦的是被攝體透過望遠鏡頭所得的虛像,而不是原來的被攝體。
 
            上圖中D是被攝體長度,d是被攝體虛像的長度,h是從焦點光通過第一片透鏡(L1)的焦點到被攝體的距離,s是焦點光通過第二片透鏡(L2)的焦點到虛像的距離,t是焦點光第二段(介於透鏡L1L2之間、並且與鏡頭軸線平行)與鏡頭軸線的距離,而P > 1是望遠鏡頭的倍率。因為P = D/d,於是像長為d = D/P
 
            為了方便起見,我們把物距定義成從被攝體到第二片(凹)透鏡的距離,也就是h + f1 + (f1 - f2),因為P = f1/f2,我們有
 
 
 
像距是從虛像到第二片(凹)透鏡的距離,也就是s + f2;經過簡單運算後得到s = h/P2,所以
 
 
 
            為什麼像距是定成到第二片(凹)透鏡的距離呢?道理是這樣的,當把望遠鏡頭裝到相機上時,第二片透鏡幾乎會貼在相機鏡頭前方,又因為相機鏡頭拍攝的被攝體是望遠鏡頭所成的虛像,所以這個距離自然就是從虛像到相機鏡頭(或是到望遠鏡頭第二片透鏡)的距離。上面定義的物距是不加望遠鏡頭時、從被攝體到相機鏡頭的距離。
 
            稍許做些簡單的算術,我們可以得到物距大於像距的結論;換言之,經過望遠鏡頭得來的像會比被攝體更靠近相機鏡頭,這証實了上一節實驗的結果。不但如此,倍率P愈大、像距就愈短,如果短到小於相機的最短對焦距離,相機就無法對焦了。
 
            如果用k表示相機的最短對焦距離,當上述的像距等於k時就是加上望遠鏡頭後能夠對焦的極限;換句話說,k = f2 + h/P2時是能夠對焦的極限,經過移項與合併得到
 
 
 
這表示裝了望遠鏡頭後的物距(h)與倍率P的平方成正比;換言之,如果相機的最短對焦距離是1.5公尺,裝了兩倍的望遠鏡頭後(P = 2),最短對焦距離會與1.5*2*2 = 6公尺成正比,這解釋了加裝高倍率望遠鏡頭時無法對很近的被攝體對焦的現象。
 
 
最後,謎底在此!
 
            請回想我們如何估算倍率的:固定一個被攝體,不用望遠鏡頭拍一張、並且計算被攝體在影像中佔用的像素數目,加上望遠鏡頭後再拍一張、也算出被攝體的像素數目,於是後者被前者除的商就是估算出來的倍率。在影像中算被攝體的像素數目相當於找出被攝體在影像中的像長,因此估算方式可以改用像長表示:固定一個長為D(物長)的被攝體,不用望遠鏡頭拍一張、並且算出在影像中的長度M(像長),加上望遠鏡頭再拍一張、算出像長N,於是估算的倍率為N/M。我們的問題是:估算的倍率N/M等於望遠鏡頭的標示倍率P嗎?
 
        從物長、物距、與焦距算出像長是很容易的(用透鏡公式),我們姑且略過這些計算而直接提供答案。我們在上一節提過,不用望遠鏡頭時,從長為D的被攝體到相機鏡頭的物距如下:
 
 
 
於是在感光晶片上的像長M
 
 
此地f是相機鏡頭焦距。裝上倍率為P = f1/f2的望遠鏡頭後,因為相機拍攝的是被攝體透過望遠鏡頭型成的虛像,所以在這個組合下的物距就是上一節定出的像距,
 
 
這個虛像在感光晶片上的像長N
 
 
因此估算出來的倍率N/M如下:
 
 
為了方便起見,令XY
 
 
於是估算倍率的式子可以化簡成:
 
 
從這個式子我們馬上得到一個重要的結果:當物距(h)為無窮大時,估算倍率與標示倍率P相等,因為當h愈來愈大時,上面的分式趨近於1。這符合我們在開頭提過的、大多數鏡頭功能是以無窮遠校正的說法。
 
            在估算倍率的式子中,如果X > Y,於是h+X > h+Y,因此(h+X)/(h+Y) > 1,所以估算的倍率大於P;反之,若X < Y,估算的倍率小於P。由此觀之,估算的倍率是否大於(或小於)實際標示的倍率,是由X是否大於(或小於Y)決定。
 
            但X > Y代表什麼呢?簡單的計算會得到:若X > Y,則下式成立
 
 
反之,若X < Y,則下式成立:
 
 
歸納起來,我們有這個重要的結果:
 
 
 
所以,給定一個倍率為P的望遠鏡頭時,只要相機鏡頭的焦距f小到某個程度使上式成立,估算的倍率就會小於標示的倍率。因為DC的感光晶片很小,焦距都不長(譬如Panasonic FZ-30的最長焦距為88.8mm,而Olympus C-2100的最長焦距是70mm),很容易就使上式為真而導致估算倍率小於實際標示倍率。反之,SLR/DSLR相機鏡頭焦距都比較長(因為感光晶片較大),於是f也大,很可能使上式為假,讓估算倍率大過標示倍率。這說明了為什麼把Olympus TCON-14B 1.45X裝在DC上的估算倍率會不足1.45,但裝在SLR/DSLR的長焦距鏡頭上卻常會等於1.45甚至超過1.45。
 
        請注意一點,XY的值只和相機鏡頭的焦距f、以及望遠鏡頭倍率P(與它兩個透鏡的焦距f1f2)有關,而與對焦距離(亦即h)無關。若X > Y,在h很小時估算的倍率會比P大,當h愈來愈大,估算倍率會愈來愈小、愈來愈接近P。反之,若X < Y,在h很小時估算的倍率會比P小,當h愈來愈大,估算倍率會愈來愈大、愈來愈接近P。事實上,估算倍率是對焦距離h的函數,畫出來的曲線是雙曲線的一部份,下面是一個示意圖。
 
 
 
 
            如果X = Y,這表示下式成立:
 
 
於是不論對焦距離h為何,估算的倍率永遠等於標示倍率;不過,這可以視為一個巧合,因為在實際應用中幾乎不會出現(譬如,變焦鏡頭中f的值就不是固定的)。
 
 
一個未解答的問題
 
            上面的討論把相機鏡頭看成是沒有厚度的單片薄透鏡,而且望遠鏡頭可以緊貼在相機鏡頭的前方,固然我們成功地解釋了倍率不足的迷思,但卻沒有說明為何兩支不同的200mm(或不同的300mm)鏡頭會得到不同的估算倍率(見本文開頭的表),以及為什麼拍攝在無窮遠的被攝體時估算的倍率仍然不等於標示倍率這兩個問題。
 
            相機鏡頭不會只有一片透鏡,不過多片透鏡的鏡頭也可以簡化到某個程度、當成一片厚透鏡看待,我們在把鏡頭上半部遮住會拍到什麼?這篇文章中提到過。簡單地說,一個多透鏡鏡頭可以化約成兩個節面(nodal planes,見下圖在N1以及N2與軸線垂直的兩個平面),於是與軸平行的入射光到達第一個節面時進入系統,到達第二個節面時折射向右邊的焦點前進;經過左邊焦點的入射光到達第一個節面時會被折射、以與軸平行的方式進入系統,再穿越第二個節面離開系統。當兩個節面合而為一時就變成單片薄透鏡,當兩者不相等時則相當於有了厚度。
 
 
 
 
            不同的鏡頭雖然焦距相同,但依設計特性的差異,兩個節面位置就不一定相同,所以望遠鏡頭與左邊的節面不一定很靠近。如果距離遠了,由望遠鏡頭產生的虛像也比較遠,使得在感光晶片上的成像比較小,於是影響到估算倍率(也較小)。另外,因為鏡頭長短不一,在裝上腳架時會改變被攝體到感光晶片(或節面)的距離,從而影響到被攝體在感光晶片上成像的大小,當然也就使估算倍率改變。除此之外還有其它看不到也無法控制的、會影響到估算倍率的因素,不過就如本文開始的表所顯示的,差異在0.02實在不能算很大。
 
 
總整理
 
            以下是本文的重點整理:
 
            第一,DC望遠鏡頭倍率是該鏡頭的內在特性,很難透過計算像長的方式精確估算出來,因為用像長的估算方式會受到相機鏡頭焦距與對焦距離的影響,使得估算倍率在不同機型與鏡頭下有相當差異。在相機鏡頭簡化成單片薄透鏡的前提下,本文導出估算倍率大於或小於標示倍率的條件。一般而言,對焦距離愈遠,估算的倍率愈接近標示倍率,但依相機鏡頭結構上的差異,我們很可能永遠得不到估算倍率等於標示倍率的結果。
 
            第二裝了望遠鏡頭後的對焦距離與倍率的平方成正比,愈高倍率的鏡頭對焦距離愈遠,所以若能夠走近被攝體而不用望遠鏡頭拍攝,得來的結果很可能比加上望遠鏡頭拍到的更大。
 
            第三,裝了望遠鏡頭後整個組合的焦距等於原相機鏡頭的焦距與望遠鏡頭倍率的乘積,這是大家都知道的事實。
 
            第四,望遠鏡頭離相機鏡頭愈遠,表示由望遠鏡頭產生的虛像離相機鏡頭愈遠,於是估算倍率愈小,所以在裝望遠鏡頭時應該儘可能降低轉接環數目、能夠用一個就不要用好幾個,因為(依轉接環的厚度)每加一個轉換環都會把望遠鏡頭產生的虛像推離相機鏡頭1mm到2mm。
 
            第五,如果非常講究估算倍率的話,在購買之前應該把每一個列入考慮的鏡頭在同一地點拍攝相同被攝體,再選拍得最大的那個鏡頭。在做這個測試時,最好在最短對焦距離(3到5公尺)、中距離(10公尺)、與長距離(15公尺到無窮遠)各拍一組照片再做選擇,因為有些鏡頭的估算倍率上昇得很慢(見前面雙曲線圖中X < Y的部份)。
 
            最後,聽到或看到A望遠鏡頭在B相機上倍率不足的說法時不必太在意,因為(1) A(特別是知名廠牌)望遠鏡頭的倍率通常不會不足;(2) 這個不足是量出來的、而不是鏡頭上的標示,何況量的方式(譬如對焦距離)對估算出來的倍率有相當大的影響(3) 在B相機上量出倍率不足並不表示在C相機上也會同樣不足。因為這些理由,而且也因為倍率是望遠鏡頭本身的內在特性,倍率不足的說法聽聽就好,不必當真、也不必放在心上!
 
 
 
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引用方式:冼鏡光,基礎知識DC望遠鏡頭倍率不足的迷思DCView.com達人部落格(http://blog.dcview.com/article.php?a=AzQFaAVg
 
 
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回應

班哲明  於2008.04.01 12:00  

冼老師您好:
如果我沒看錯的話,文章裡面提到三個鏡頭由左至右的順序和圖不一樣,圖裡面由左至右的應該是Olympus TCON-14B 1.45X、Olympus TCON-17 1.7X與Nikon TC-E17ED 1.7X。

版主回應︰ 於 2008.04.01 14:49

謝謝指正,這是我的疏失,已經更改。

ysrl  於2008.04.01 15:39  

我對物理公式實在是不行,但我想知道這樣計算出來倍率,和外掛鏡頭使視角改變的倍率有沒有一樣?

版主回應︰ 於 2008.04.02 15:43

這是不可能一樣的,因為視角的改變隱含了正切函數tan()或反正切函數atan(),但本文中的估算倍率完全沒有用到三角函數。所以,若要知道視角的改變,把鏡頭的焦距乘以外掛鏡頭的倍率,得到的結果就是該組合的焦距,再用這個焦距去算視角就行了。

讀冼鏡光,數位相機:觀念、技巧與原理中...  於2011.08.31 11:08  

上面定義的物距是不加望遠鏡頭時、從被攝體到相機鏡頭的距離。

不加???

最短對焦距離會與1.5*2*2 = 6公尺成正比??

老師這邊指的是最短對焦的物距嗎??

版主回應︰ 於 2011.09.02 13:36

請問您指出的這句話在何處?

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    • 5ae4cf9e1c4a48995854e6a0007eefad
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