基礎知識:什麼是光圈f值?(下)
發表於2010.05.13 11:27

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基礎知識:什麼是光圈f值?

 

冼鏡光

May 13, 2010上線

 

 

 
這是下篇,上篇在此
 
 
一個有趣的例子
 
            在微距鏡頭世界中,Nikon的Micro-NIKKOR Auto 55mm f/3.5的1966年版很值得在此說說。雖然1966年已經有TTL測光(第一台有TTL測光的SLR是1963年的Topcon RE Super),但Nikon最早的TTL測光機型Nikon F Photomic T和Nikkormat FT要到1965年才出現,所以當Micro-NIKKOR 55mm f/3.5上市時,很多Nikon機型並不支援TTL測光,因此用手持測光表或機身上非TTL測光表測光之後(見Nikon鏡頭筆談:Nikon的pre-AI代表什麼?一文),得要用上一節提到的方法調整曝光。
 
            Micro-NIKKOR 55mm f/3.5只能做到1:2的放大率(亦即0.5X),而且是移動整個鏡頭對焦,從無限遠向近距離對焦時就會掉光圈f值,但若機身沒有TTL測光,使用人就無從知道掉了多少。Nikon克服這項困難的手法,是把光圈葉片開孔大小隨對焦距離自動而且連續地改變。當鏡頭對焦到無限遠時光圈葉片開孔最小(下左照片),隨著對焦距離變短光圈開孔也跟著變大,在對焦到最近距離(亦即放大率為1:2)時開孔變成最大(下右照片)。就這個鏡頭而言,因為入瞳孔是光圈開孔的像,光圈開孔變大入瞳孔也變大、它的直徑也增加,於是在有效f值定義中的像距和入瞳孔直徑同時增加,這就使標示f值和有效f值相同了。
 
 
 
 
            推出Micro-NIKKOR 55mm f/3.5後不久TTL測光就大為普及,上述的做法就變得沒多大用處,於是Nikon在1970年推出無此功能的改良版。有此功能的版本一般叫做compensate版(雖然鏡頭上無此標示),序列號碼從171XXX起。這個鏡頭近拍品質十分優異、但非近拍時卻很平常,所以不很合適做一般用途;非compensate版的序列號碼從600XXX起,在整個對焦範圍中的品質十分高,但近拍時稍遜compensate版,所以是一個很好的一般用途鏡頭。
 
 
出瞳孔
 
            相對於入瞳孔,鏡頭也有出瞳孔(exit pupil);鏡頭的出瞳孔是從尾部看到的光圈開孔的像。下圖中AE分別是光圈開孔和出瞳孔、而且也標出了從光圈開孔到出瞳孔的成像方式,F是鏡頭L的焦點。和入瞳孔的道理一樣,一道(從鏡頭尾部向左走的)光線如果經過折射後會通過光圈開孔,它的(不經過鏡頭折射)的延長線就會通過出瞳孔(下圖的藍色光線);反之,若光線經過折射後會被光圈開孔擋住,它的延長線就會被出瞳孔擋住(下圖的紅色光線)。
 
 
 
 
            我們也可以把這一層關係倒過來看。一道入射光如果會通過光圈開孔、再經過後段透鏡折射而離開鏡頭,於是把離開鏡頭那一段(亦即出射光)反向延伸就會通過出瞳孔。
 
            有了入瞳孔和出瞳孔後我們可以定出瞳孔比(pupil ratio)也叫做瞳孔放大率(pupil magnification)如下:
 
 
 
 
如果入瞳孔直徑用e表示,又用P表示瞳孔放大率,於是出瞳孔直徑就是Pe。瞳孔放大率的值是多少依鏡頭的光學設計而定,在完全對稱式結構下P = 1;一般而言,標準鏡頭大致上會是P » 1,望遠鏡頭P < 1(出瞳孔小於入瞳孔),廣角鏡頭P > 1(出瞳孔大於入瞳孔),找些鏡頭從前方和後方看看入瞳孔和出瞳孔就不難印証。
 
            從瞳孔放大率P和放大率m,光圈f值N和有效f值N’之間就有更精確的關係如下:
 
 
 
                                               
 
前面提過的式子N’ = N(1+m)不包含瞳孔放大率P,也就是入瞳孔和出瞳孔相等的情形。不過鏡頭資訊中通常沒有瞳孔放大率,而且只用移動前端或後端透鏡對焦(甚至於內對焦)時,入瞳孔或出瞳孔的位置與大小都可能隨對焦而改變,當然瞳孔放大率也可能變動,所以這道新式子並不很好用。但話又說回來,這道比較精確的式子卻可以幫我們導出其它比較準確的近拍(譬如景深)結果。
 
 
光圈T
 
            不論是f值還是有效f值,都是基於100%透光率定義的,但是每一個透鏡由於吸收和內反射或多或少都會損耗一些穿過它的光線,更何況相機鏡頭使用多片透鏡,於是入射光穿過鏡頭成為出射光後強度總是低一些。因為這個原因,用f值甚至於有效f值決定曝光就很可能會有點不足,所以鏡頭廠家曾經用T值代替f值,不過除了電影鏡頭和Minolta/Sony 135mm f/2.8 [T4.5] STF(1999年,STF = Smooth Transition Focus)之外,近年來似乎沒有用T值標示的SLR/DSLR鏡頭。
 
        如果用T表示鏡頭的透光率(出射光佔入射光強度的比率),於是透光率光圈(transmission aperture)T值就是:
 
 
 
 
如果A是入瞳孔面積, T值也可以寫成:
 
 
 
 
上式中f是焦距。因為相機鏡頭的入瞳孔是圓的,如果e是入瞳孔直徑,入瞳孔的面積是pe2/4,把它代入上式就會得到T值的定義式。
 
 
一些簡單的理論背景
 
複習
 
            我們先複習復合透鏡的觀念,細節請看基礎知識:什麼是焦距?這篇文章。相機鏡頭中的多個透鏡可以約簡成一個厚透鏡L以及兩個主面(principle plane)和兩個節面(nodal plane),因為絕大多數的相機頭在拍攝時前後的介質相同(都是空氣),主面和節面重合,因此以下就用節面說明。這兩個節面和鏡頭軸線交於兩個節點N1N2(見下圖),節點N1左邊有左焦點F1、節點N2右邊有右焦點F2,焦距fN1F1(也是N2F2)之間的距離,兩個節面之間就是約簡後的鏡頭。從某點P出發和軸平行的入射光會穿過N1的節面進入鏡頭而到達N2的節面,然後折射經過右焦點F2;反過來,從P出發經過左焦點F1的入射光到達N1的節面,接著折射後變成和軸線平行而進入鏡頭,再穿越N2的節面成為出射光離開鏡頭,最後和上一條光線相交於Q,這個Q就是P在鏡頭L之下的像。在這個系統中,從PN1節面的距離是物距u,從QN2節面的距離是像距v。要注意的是,雖然圖中N1N2左邊,但在實際鏡頭設計中N2可能會在N1的左邊,但(1)F1N1、(2)F2N2、以及(3)入射光從N1節面進入鏡頭再從N2節面離開,這三項關係是不變的,請看基礎知識:什麼是焦距?中的實際鏡頭光學設計。
 
 
 
 
 
加上光圈葉片
 
            如果鏡頭加了光圈A,於是A經過在它前方的透鏡組得來的像是入瞳孔EnA經過在它後方透鏡組得來的像是出瞳孔Ex,下圖中用深淺不同的虛線表示兩個瞳孔的成像方式;雖然此地只畫了兩個透鏡,但應該把它們看成是約簡後的結果。圖中在軸線上的兩個小方格分別表示左邊和右邊透邊組的左焦點和右焦點,F是整個鏡頭的右焦點,軸線上的三個紅色圓點分別是光圈開孔、入瞳孔和出瞳孔的中心。這個圖中入瞳孔在出瞳孔右邊,但由於光學設計的差異,入瞳孔也會在出瞳孔左邊。
 
 
 
 
            經過入瞳孔邊緣的入射光(圖中的藍線和紅線),折射後會經過光圈開孔的邊緣、因為前者是後者的像;同理,通過入瞳孔中心的入射光(圖中的黄線)經折射後會通過光圈開孔的中心。不但如此,所有能夠通過入瞳孔的入射光經折射後都會通過光圈開孔;反之,經過折射後的入射光若會通過光圈開孔,該入射光就會通過入瞳孔。所以,入射光能否穿過光圈開孔成為出射光可以看成是由入瞳孔決定,於是入瞳孔就像是針孔相機的針孔、它決定了入射光進入相機的範圍、把影像投射到入瞳孔(或說成是光圈開孔)後方的部位,因此入瞳孔代表鏡頭的投影中心(center projection)或透視中心(center of perspective)。
 
            再看出瞳孔。光線穿過光圈開孔後最終會成為離開鏡頭的出射光,由出瞳孔的定義,出射光(或它的延長線)會通過出瞳孔某處。以上圖經過光圈開孔邊緣的光線為例,它們出射光的延長線會經過出瞳孔的邊緣,因為出瞳孔邊緣正是光圈開孔邊緣的像。圖中經過入瞳孔邊緣的藍色入射光和軸線平行,進入鏡頭後被折射經過光圈開孔的邊緣,繼續向前走在離開鏡頭成為出射光時,會被折射經過出瞳孔邊緣;又因為入射光和軸線平行,出射光會到達焦點F。圖中紅色的入射光從軸線上的點P出發,經過折射後在軸線上的點Q成像,請注意入射光和出射光分別經過入瞳孔邊緣和出瞳孔邊緣的事實。前面也提過,經過入瞳孔中心的入射光會通過光圈開孔中心(圖中黃線),但出瞳孔中心是光圈開孔中心的像,所以出射光會經過出瞳孔中心。
 
            綜合起來,每一道出射光都會經過出瞳孔,所以出瞳孔提供了所有在底片上成像所需的照明,因此出瞳孔是鏡頭的照明中心(center of illumination)。照明中心的孔愈大提供的光就愈多,當然對底片的照明就愈強、感光時間就愈短。正因為如此,以下的討論就只畫出入瞳孔、出瞳孔、以及兩個主面(也就是節面)而省略透鏡和光圈開孔。
 
 
光圈f值的由來
 
            入瞳孔和出瞳孔首先被Ernst Karl Abbe(1840年1月23日 – 1905年1月14日)用在顯微鏡研究上頭,這套理論最基本的部份大致上是這樣的。如果一個物體的亮度是B,鏡頭的透光率是t,於是成像的照明E就是E = cBtsin2q,此地c是一個常數,q是與軸平行而且通過入瞳孔邊緣的出射光和軸線的夾角(見下圖),所以入瞳孔愈大q就愈大,成像的照明就愈高、影像就愈明亮。
 
 
 
 
            前面提過,與軸線平行的入射光到達第二個主(或節)面時會折向焦點,但把主(或節)面看成平面則是個理想的狀況、只有在入射光非常靠近軸線時才會成立。Abbe指出,當球面像差和慧形像差修正得非常好時,第二個主(或節)面事實上是一個心在焦點、半徑為焦距的球面(上圖中的虛線),所以sinq = (e/2)/f = e/(2f),此地e是入瞳孔的直徑。因為這個原因,影像的照明E就由物體的亮度B、鏡頭的透光率t、和sinq(亦即入瞳孔直徑e和焦距f)共同決定;但在同一個鏡頭下,最重要的影響的因子就是sinqsinq 的結果代入E的式子得到:
 
 
 
 
上式中N = f/e是光圈f值。這道式子也可以這樣解釋。因為照明的強度與光源的面積成正比、與到光源的距離成反比,此地光源是入瞳孔、它的面積與直徑e的平方成正比,而距離就是焦距f,所以Ee2成正比、f2成反比,當然E就與(e/f)2成正比、與N2成反比了。
 
因為sinq 對影像照明的重要性,把它獨立出來就是前面提過的光圈f值N的定義:
 
 
 
                                         
 
 
出瞳孔對f值的影響
 
            上一節提到sinq的重要性,此地把它和出瞳孔結合得到更準確的結果。假設q值很小,於是sinq » tanq(sinq和tanq幾乎相等);事實上,當q在0度和45度之間sinq和tanq的差小於0.3,所以這樣的假設是很合理的。更重要的是,這個假設也容許我們可以把節面看成一個平面。
 
            先看下左圖,和軸平行而且經過入瞳孔邊緣的入射光在右節面離開鏡頭時會折射到焦點,因為這道光線經過入瞳孔邊緣,出射光(或它的延長線)就經過出瞳孔邊緣。令e表示入瞳孔直徑,於是半徑是e/2,所以從圖中右邊的直角三角形得到sinq » tanq = (e/2)/f = e/(2f),此地f是鏡頭焦距,這是上一節講過的結果。如果P是瞳孔放大率,於是出瞳孔直徑就是Pe,它的半徑是Pe/2。考慮由出瞳孔半徑、軸線、和焦點構成的直角三角形,因為斜邊和軸線的夾角也是q,所以從出瞳孔中心到焦點的距離是Pf;換句話說,從出瞳孔的角度來看,我們得到sinq » tanq = (Pe/2)/(Pf) = Pe/(2Pf) = e/(2f),這個結果和用入瞳孔得來的相同。所以,當對焦到無限遠時,光圈f值用入瞳孔的定義和用出瞳孔的定義一樣,因為sinq的值不變。但當對焦到近距離時結果就不同了。
 
 
 
 
        假設是移動整個鏡頭對焦,於是對焦時整個鏡頭的光學結構不變,所以兩個主(或節)面、入瞳孔、出瞳孔、焦點在對焦時的相對位置都固定,而只是沿軸線方向前後移動。上右圖是對焦到有限距離的狀況,從軸線上某個點出發經過入瞳孔邊緣的入射光,折射後成像的出射光會經過出瞳孔邊緣。因為像距v大於焦距f,於是焦點到出瞳孔邊緣的線和軸線的夾角q小於對焦到無限遠時的對應值,當然sinq的值也比對焦在無限遠時的值小,因而影像照明E也比較弱。弱多少呢?
 
            我們知道m = v/u是放大率(uv分別是物距和像距),於是u = v/m,把u的值代入透鏡公式1/u + 1/v = 1/f並且解v得到v = (1+m)f。因為vf分別是像和焦點到右節面的距離,從焦點到像的距離就是vf = (1+m)ff = mf,所以從出瞳孔到像的距離就是Pf + mf = (P+m)f。因為
 
 
 
 
我們得到
 
 
 
 
比照光圈f值N=1/(2sinq)的定義方式,對焦到有限距離的光圈f值就是N’=1/(2sinq),把上式的sinq代入N’得到:
 
 
 
 
這正好就是前文提過的有效光圈f值。
 
            在移動整個鏡頭對焦的鏡頭中,選定了光圈就表示固定了入瞳孔和出瞳孔的位置和大小,於是瞳孔放大率P是個常數,所以在對焦時只有放大率m會改變。對焦在無限遠時m是0,有效光圈f值等於標示光圈f值;對焦到有限距離時,因為m/P > 0,有效f值恆大於標示f值,這就是近拍時掉光圈的理由,前文已經解釋過了。在1:1微距攝影時m = 1,m/P可能大於1、也可能小於1,全由瞳孔放大率決定;如果P大於1,光圈掉得少,要不然就掉得多,但遺憾的是近來廠商都不再發表瞳孔直徑或瞳孔放大率了。
 
            再提醒一次(其實前文已經說過了),如果鏡頭只用前段或後段對焦甚至於內對焦,因為對焦時會移動鏡頭中部份透鏡,使各透鏡的相對位置改變、從而更動了鏡頭的光學結構(包含了瞳孔和焦距),於是有效f值和標示f值之間的關係就會變得很複雜、超出了本文探討的範圍了。
 
 
結論
 
            這篇文章用相當長的篇幅,從很淺的觀察和觀念起一直講到一些基本理論,目的就在澄清一個常見而且令人混淆的f值定義。國內論壇常見的以訛傳訛或是常引起爭論的課題大致上有:EV的定義含ISO、f值是焦距除以前端透鏡直徑、景深和片幅無關、放大率和片幅與解析度有關等等。原先是計劃用一系列文字一口氣把這些課題說清楚,無奈天不從人願,由於時間、預備知識、甚至於考慮到這些文字並非普羅大眾口味等因素,寫起來不但慢而且十分不容易下筆,所以到目前為止文章並不多,只有EV和這一篇。不論如何,至少也澄清了兩個問題,至於每篇文章您能有多少收穫就非我能掌握的了。下回見!
 
 
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引用方式:冼鏡光,基礎知識什麼是光圈fDCView.com達人部落格(http://blog.dcview.com/article.php?a=ATYJawxoAjM%3D

 

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溫  於2010.05.13 15:53  

F值的奧妙真不少
可惜我數理好爛看不懂...

SYL  於2010.05.15 01:54  

在下非理工科系
下篇大概在"出瞳孔"之後就無法理解了
但從上篇了解恆定光圈的原理後
倒是理解到這類鏡頭價格比較高的道理了

jack  於2010.11.19 15:07  

感謝分享,雖然我還是看不懂。

複習
的第四行

~因此以下就用節面說『朋』,應該是明的筆誤。

版主回應︰ 於 2010.11.21 16:16

謝謝,已經更正。

JiaShiun  於2011.01.24 16:06  

請問你是大學教授嗎?

我看了很多你的文章,感覺真是受益良多

版主回應︰ 於 2011.01.26 15:06

是的。

zarda  於2012.11.13 21:26  

得利於光學運算軟件的進步
現代鏡頭的光學特性更接近理想透鏡了
除了某些特殊用途鏡外
大多鏡頭的參數都已經最佳化過很多次
甚至為了數據上的好看修到了部份成像品質
個人並不樂見 多數人完全看參數選鏡頭的樣子
有些網有說看不太懂版主詳細的說明
其實可以把它想成望遠鏡來看
自己的眼睛就是底片 如果entrance pupil越大
就會越明亮 看得越清楚 也有更多的空間可以縮光圈換畫質

hangovertini  於2012.11.14 10:45  

請問老師,這篇文章可否用來解釋恆定與非恆定光圈的差異呢?

版主回應︰ 於 2012.11.16 19:07

不行,因爲這篇文章只說明了什麼是入瞳孔和光圈f值,完全沒有談到當焦改變時維持特定關係的機制。

字林  於2013.02.04 18:32  

实在太谢谢冼老师,我认为我大部分应该是理解了,但确实还有一点有疑惑,我经常使用尼康老的机械镜头用在DSLR上,那支25-50mm f/4我也有,我想问的是:

1、当我把光圈环定在5.6时,根据您所讲,变焦时入瞳孔会从小变大,这个入瞳孔变化应该是指的实际光圈开孔的像在变化吧?实际光圈开孔应该是不会变化的吧?

2、这个镜头是在实际光圈不变化的情况下,通过移动透镜来保证焦距变化比例和入瞳孔(也就是开孔的像)变化比例相等的?还是通过改变实际光圈开孔来实现的?

3、在TTL测光模式下,用A档,光圈定在5.6,如果拍摄近距离物体,按您讲的光圈要掉,那实际拍摄光圈要小于5.6,对应的速度应该慢于5.6所对应的速度,但这时相机给到我们的曝光组合却是5.6所对应的吗?这不是我从相机测光表看到的曝光组合与实际发生的组合不一致了吗?虽然EV应该是一致的。这点最困惑。

如果您能在百忙之中抽时间给予解惑,实在是太感激了。

版主回應︰ 於 2013.02.11 03:38

(1) 變化的入瞳孔大小,基於鏡頭設計,實際光圈開孔可能不變但改變位置、也可能光圈開孔改變,只要能保持f/入瞳孔直徑為常數就行。

(2) 見(1)的說明。

(3) 不一定,看機身測光和曝光系統的設計。Nikon的機身顯示的就是掉了光圈後的F值。

字林  於2013.02.16 15:14  

冼老师,感谢您的回复。
前一个疑问的第3点还有两个进一步的疑问:
1、掉光圈是不是一定是指移动整个镜头对焦的镜头才会这样?因为我用nikon的28-300mm f/3.5-5.6镜头,在300mm端从无穷远到最近对焦,相机都是显示光圈5.6。
2、如果我用手动镜头,光圈F值是由镜头决定的,机身如何显示掉光圈后的F值?

版主回應︰ 於 2013.02.17 18:22

(1) 不是。掉光圈只會在近距離拍攝才發生,文章寫得很清楚的。

(2) 鏡頭會透過某個機械或電子機制傳給機身,所以機身未非知道掉光圈。

字林  於2013.02.22 11:38  

“所以機身未非知道掉光圈”,请问老师这个“未非知道”如何理解?
我理解应该是机身知道掉光圈,比如说从5.6掉到了8,那么当用A档拍摄时,机身应该是按照8给出一个速度,比如说是1/125s,但这时镜头仍设定为5.6,那么这时机身显示出来的速度是1/125s呢?还是经过换算后的1/250s呢?

版主回應︰ 於 2013.02.22 15:27

(1) 應該是「未必知道」,抱歉。

(2) 看機身測光表和鏡頭的連動方式。以目前DSLR接無光圈連動的鏡頭而言,測光表一般會依得到的亮度測光,如果掉光圈就降快門速度。

Maison  於2017.03.02 03:57  

冼老師您好:
我在拍攝時有不驚動被攝物的需求,因此想自己製作一遮罩在鏡頭前緣,以我目前鏡頭為例為olympus 40-150mm 口徑72mm鏡頭,常用近150mm端,我非常在乎保留住照片細節,若使用只漏出36mm的遮罩,入光量比原來不放遮罩時損失多少比率,又該如何計算?(因為實際操作覺得畫質減損不多,但當光源暗時細節就出不來了,整張照片噪點多)
另外也想知道是否在遮住相同面積下,遮住鏡頭外緣比遮住鏡心畫質減損來的小,條件是假設我被攝物都在鏡頭中央區域,也只在乎中央區域的成像畫質。用150mm端拍攝。
有勞您為我解惑。

版主回應︰ 於 2017.03.03 06:06

> 想自己製作一遮罩在鏡頭前緣,以我目前鏡頭為例為olympus 40-150mm
> 口徑72mm鏡頭,常用近150mm端,我非常在乎保留住照片細節,
> 若使用只漏出36mm的遮罩,入光量比原來不放遮罩時損失多少比率,
> 又該如何計算?(因為實際操作覺得畫質減損不多,但當光源暗時細節
> 就出不來了,整張照片噪點多)

這樣做就相當於擋住一些進入鏡頭光線,效果和收小光圈一樣,為什麼不直接收小光圈而得在鏡頭前擋光?要知道的是,光圈機制的位置並不是隨便定的,並非在前面擋住就好。所以,總而言之一句話,請用光圈調節進光量,這才是得到好畫質的正途。

> 另外也想知道是否在遮住相同面積下,遮住鏡頭外緣比遮住鏡心畫質
> 減損來的小,條件是假設我被攝物都在鏡頭中央區域,也只在乎中央
> 區域的成像畫質。用150mm端拍攝。

遮住鏡心等於是犧牲了鏡頭中成像最好的部位,當然效果會變差。總之,請用光圈調節進光量,不要在鏡頭前方動手腳。

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