基礎知識:什麼是焦距?(二)
發表於2009.01.28 03:43

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基礎知識:什麼是焦距?
 
冼鏡光
January 28, 2009上線
 
很抱歉本文又拆成兩段,最近本站的後台輸入作業把我煩得一個頭兩個大,這篇文章又得分段了,不方便的地方請見諒。本文的前半部在此

 

複透鏡
 
            絕大多數的相機鏡頭都不只一片透鏡,使用前面提過的成像原理,我們可以把鏡頭的焦點、節點與焦距找出來,於是鏡頭的基本特性就有了。為了方便說明,我們假設所有透鏡都是薄透鏡,這是個合理的假設,因為厚透鏡可以轉換成焦點、節點與節面,於是成像原理就與薄透鏡相同,唯一差異是多了兩個節面之間的距離。
 
            如果我們知道鏡頭中每一片透鏡的位置與焦點,找出鏡頭焦點與節點的手續有兩個步驟:1從左方產生一道與軸線平行的入射光,使用成像原理讓這道光穿過每一片透鏡,最後出射光與軸線在某處相交,這就是右邊的焦點F22把入射光與經過F2的出射光延長,它們會在某處相交,從這個點向軸線作垂直線(節面)交於N2,這就是與F2對應的節點,因此F2N2間的距離是焦距f。接著從右邊產生一道與軸線平行的入射光,用同樣手續可以找出左焦點F1、與它對應的節點N1、以及兩者間的距離f,這個焦距值在理論上應該與(2)找出的值相等,不過在實務上很可能有稍許差異。
 
            下面是一個例子,這個鏡頭有兩個凸透鏡,左邊凸透鏡的右焦點是圖中最右邊的方格,右邊凸透鏡的左焦點是圖中左緣的淺藍色方格。從左方進入鏡頭的入射光(藍色)到達第一片透鏡會被折射到該透鏡的右焦點方向,但在到達它的右焦點前就遇到右邊的透鏡,因此又被折射(用斜射光成像原理),最後與軸線在F2相交,這是鏡頭的右焦點。把入射光與出射光延長(黑色點虛線)有一個交點,節面就是經過這個交點而且與軸線垂直的平面,它和軸線的交點N2是與右焦點F2對應的節點,F2N2之間的距離是鏡頭的焦距f。反過來,用同樣的手續可以找出F1N1。請注意到這四者的順序是F1N2N1F2

 

 
            再看一個例子。下圖的鏡頭有一個凸透鏡(左)與一個凹透鏡(右),凸透鏡右焦點是標了F2左邊的淺色方格,凹透鏡右焦點是圖中最右邊的淺藍方格。從左邊出發與軸線平行的入射光(藍色)到達凸透鏡時被折射向右邊的焦點,但在到達該焦點前遇到凹透鏡,因而向外折射後與軸線在F2處相交,這是鏡頭右焦點;經過入射光和出射光的延長線交點並且與軸垂直的平面是與F2對應的節面,它和軸線的交點N2是與F2對應的節點。追蹤從右邊進入鏡頭的光線(紅色)可以得到F1N1,這一次四個點的順序是F1N1N2F2。從這個圖可以發現,鏡頭的焦距f比凸透鏡的焦距來得長;換言之,在一個凸透鏡後方合適所在加一個凹透鏡可以加長凸透鏡的焦距,而且一個甚至兩個節點都可能在第一片透鏡前方,這是望遠設計telephoto)與增距鏡(也叫做加倍鏡)的基本原理。

 

 
            把上面的鏡頭倒反過來,讓凹透鏡在前、凸透鏡在後(見下圖),如果適當選擇凹透鏡的位置與焦距,整個鏡頭的焦距要比原凸透鏡的來得短;換言之,在凸透鏡前方加凹透鏡有縮短焦距的效果。不但如此,一個甚至兩個節點都可能會出現在凸透鏡後方,於是鏡頭的焦距f比焦平面到最後一片透鏡的距離(這叫做鏡後距back focal distance)來得短,這一類把望遠設計倒過來的設計叫做倒裝望遠設計retrofocusreversed telephoto),是SLR/DSLR廣角鏡頭的最主要設計方式。

 

 
 
實例
 
            了解節面、節點與焦點觀念之後不妨看幾個實際的例子,這些都是Nikon的老定焦鏡,因為變焦鏡的節點與焦點並不固定,而近二十多年來廠商(包括Nikon在內)都不再出版這些資訊,所以此地的資料都是「古」書中得來。
 
            下面是Nikkor-O 2.1cm f/4Biogon類型的廣角鏡頭(1959年),圖中FH是本文的F1N1,而F’H’則是F2N2;另外,長度單位是mm。首先注意到鏡後距(鏡頭最後一片透鏡到焦點F’的距離)是7.3mm,所以鏡頭離底片很近,相機的反光鏡得要彈起並且鎖住才可以用這個鏡頭。鏡頭的焦距(H’F’的距離)是21mm,從下圖可以算出H’到最後透鏡的表面是13.7mm,再從鏡頭總長47.5mm可以算出H到第一個透鏡表面的距離是9.5mm,於是HF的距離(左焦距)20.9mm = 11.4 + 9.5,幾乎是21mm。請注意到這個鏡頭是個幾乎對稱的設計,兩個節點都在鏡頭內部。有關Biogon的討論請看相機鏡頭:對稱式廣角鏡頭(Hypergon、Topogon、Metrogon、Biogon與Hologon一文。

 

 
 
            下面是Nikkor-QD 15mm f/5.61973年),從H’F’在鏡頭後方很遠、而且鏡後距是38.6mm兩點,我們就知道這是個倒裝望遠設計。圖中從FF’的距離是88.7mm,扣除H’F’之間的距離(焦距)15.3mmHH’之間的距離58.1mm,我們得到FH之間的距離(左焦距)15.3mm。請注意到H’F’在鏡頭後方、FH在鏡頭內部,倒裝望遠設計的廣角鏡頭差不多都如此。

 

 
            下面是Nikkor-N 24mm f/2.81967年),另一個倒裝望遠設計的廣角鏡頭。與Nikkor-QD 15mm f/5.6一樣,H’F’在鏡頭後方、FH在鏡頭內部:

 

 
            接著看個標準鏡頭Nikkor-S 55mm f/1.21965年),這是個非對稱雙Gauss設計(見相機鏡頭:Gauss、雙Gauss、Planar、Biotar等等一文的解釋)。在這個設計中,HH’位置互換而成為FH’HF’的態勢,左焦距與右焦距有0.3mm的差異。另外,左節點H移到鏡頭後方,右節點H’移到鏡頭內部,而且左焦點移到非常靠近鏡頭表面的位置。事實上,從15mm24mm、再到55mm,左焦點愈來愈向左移,雖然其它鏡頭未必全然如此。

 

 
            底下是Nikkor-P 105mm f/2.51959年),這是Nikon早期的名鏡,所謂的Nikon 105王朝就是從這個鏡頭開始,不過它是Sonnar版(見相機鏡頭:Ernostar與Sonnar一文的解釋)而不是後來更好的雙Gauss版。請注意FH的位置,兩者都移到鏡頭前方,而且H’就快到透鏡表面了。

 

 
            把焦距再拉長一點是Nikon的另一個有名鏡頭Nikkor-P 180mm f/2.81970年),不過這不是1980年發表的ED版。很明顯地,FHH’都移到鏡頭前方,雖然H’離第一片透鏡不遠,但已經有了望遠設計的味道。

 

 
            下面是Nikkor-P 400mm f/5.61973年),這不是ED版(1975年)也不是ED-IF版(1978年)。從圖中可以算出右節點H’在鏡頭第一片透鏡前方103.7mm,差不多是焦距的26%左右,所以望遠設計已經呼之欲出。

 

 
 
結論
 
            這篇文章從直覺的焦點與焦距定義開始,先把薄透鏡近軸光學的基本部份簡單地做個介紹,然後進入厚透鏡、再延伸到複透鏡,最後用幾個實例做結束。用這麼長的篇幅說明焦點、節面、節點之間的關係有一個很重要的原因:為日後其它基礎知識文章鋪路並且打下基礎。少了這些比較精準的觀念與知識,有些內容就很難說得清楚,然而若為了簡單而全都用薄透鏡講解,固然結果淺顯易懂,但得來的結論卻很容易被人往錯誤方向延伸而得到不正確的推論(譬如f值的定義)。所以為了避免日後麻煩甚至可能誤導讀者,我們就走遠些、多講一點吧!讀完本篇之後,建議也把以下與焦距有關的各篇瀏覽一次:把鏡頭上半部遮住會拍到什麼DC望遠鏡頭倍率不是的迷思近拍(最短)對焦距離的迷思相機鏡頭:從透鏡說起

 
未經本人同意,請勿轉載轉貼本文任何片段,請尊重智慧財產(著作)權
引用方式:冼鏡光,基礎知識什麼是焦距DCView.com達人部落格(http://blog.dcview.com.tw/article.php?a=BTgEZVQ8BTA%3D
 
 
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richie0720  於2009.01.28 19:03  

好文必推

從二十年前拜讀冼教授的文章開始

(好像是河內塔和質數演算法)

就很期待這種深入淺出的文章

雖然講解方程式會嚇跑不少人

但冼教授文章也吸引了好幾個世代年輕人學習理工

philipma  於2009.03.18 15:41  

冼老師:

受教了! And, 結論中 "相機鏡頭:從透鏡說起" 連結錯誤。

版主回應︰ 於 2009.03.18 16:13

謝謝,已經更正。

Kit Leong  於2009.03.20 09:36  

謝謝洗老師, 我一直很喜歡老師的文章.

Vincent  於2009.10.17 17:02  

冼老師:

一事請教,全幅相機用200mm鏡頭拍攝10公尺景物體會得到多大圖框,200mm 放大率 1:6.1,也就是拍攝5個人能塞得下嗎?
是否有公式可換算?

謝謝!

版主回應︰ 於 2009.10.19 16:06

200mm鏡頭在135片幅機型上大約是10度,一半是5度。如果一個人寬60cm,5個人的寬度是3m = 60cm * 5,一半的長度是1.5m。如果拍攝距離是x,由直角三角形的正切定律,我們知道tan(5度)=1.5m/x,因此x = 1.5/tan(5度),用計算機可以算出x(拍攝距離)大約是17m。

JE  於2012.02.21 22:38  

老師您好:
最近接觸M43系統,對於轉接鏡頭很有興趣,但對鏡後距的概念不太清楚,由於鏡頭本身有鏡後距(BFL)的規格,機身也有鏡後距(FBL法蘭距)的規格,聽過一個說法"鏡後距不足,無窮遠就無法對焦",這句話中的鏡後距指的是BFL還是FFL呢?
小弟的認知是:
1. BFL不足,意思是我拿BFL 20mm的鏡頭,裝到FBL 25mm的機身,那麼最後一片鏡片離感光元件太遠.

2. FBL不足,意思是我拿BFL 25mm的鏡頭,裝到FBL 20mm的機身,那麼最後一片鏡片離感光元件太近.

上述兩個情況,究竟是哪一個會無法在無窮遠對焦呢?

版主回應︰ 於 2012.02.22 07:41

國內(甚至於華文)的文章常常把卡口距(flange distance)和鏡後距(back focal distance)弄混,但這兩些是完全不同的東西。卡口距是機身上鏡頭座前方到底片平面的距離,同廠的SLR的卡口距一定相同。  支援該機身卡口距的鏡頭在裝上機身並且對焦到無限遠後,焦點會正好在底片平面。

鏡後距(簡單地說)是鏡頭對焦到無限遠時、最後一片透鏡表面的中心到焦點的距離,這段距離和卡口距沒有必然的關係。

如果把支援卡口距X的鏡頭裝在卡口距Y的機身上時(假設可以裝成功),於是

(1) X = Y:這剛剛好,表示完全匹配
(2) X > Y :  完全不能使用。如果透過接環安裝,則接環厚度是X - Y、湊足卡口距X。
(3) X < Y:無法對焦到無限遠。若Y-X不大,鏡頭可能可以對焦到近處,但有多近則取決於鏡頭的焦距,焦距愈長、能對焦的距離愈長,焦距愈短、能對焦的距離愈短。如果Y-X太大,鏡頭可能無法在任何距離對焦。

JE  於2012.02.23 23:00  

老師您好:
謝謝您的解惑,不過小弟有個地方不明白
(3) X < Y, 是否表示無限遠的物的像會落在感光元件前方,因為對焦環無法轉超過廠商調教的位置(機構限制無法讓像往後移動到感光元件上),所以X < Y的時候無限遠無法對焦.

(2)X > Y, 表示無限遠的像會落在感光元件後方, 那如果轉動對焦環讓像往前移動,是否有機會可以對焦?

上述的說法不知道是否正確?

謝謝.

版主回應︰ 於 2012.02.26 05:08

(3) 是否能轉超過無限遠不是因素。對焦到無限遠時鏡頭到底片平面的距離最短(這是焦距、也是無限遠處物體的像距),所以必須對焦到較近距離使像距變長才能到達在後方的感光元件。

(2) 如果最短的像距已經在感光元件後方,對焦到近距離時像距更長,理論上怎麼會在感光元件上成像呢?

所以,請從物距和像距做出發點思考,重點不是在對焦環如何轉。

CrazyHead  於2012.05.27 14:12  

請問若給于任一顆相機鏡頭(複透鏡) 但不知其特性參數
如何測量此鏡的焦距呢?

版主回應︰ 於 2012.05.29 06:39

大學的光學實驗室應該會有相關的器材,如果完全沒有器材,那就不可能測得很準。若只是個大概,不妨先找出節點(nodal point)位置,再量到底片平面的距離;算節點位置是拍全景照的必要技術,網上資源很多,底片平面位置是機身上空集合符號的橫線。

CrazyHead  於2012.05.29 13:27  

設計一個實驗
在複(厚)透鏡左側輸入兩道相距h的平行綠光雷射 一道通過主軸 則在右側可量得焦點及輸出雷射的夾角
以此網頁最上面的圖解(diagram)為例 即F2點及通過F2點的藍線
最後 可據此可推算N2節點及焦距(N2,F2間的距離) 是這樣嗎?

另感謝提供常忽略的"全景照的必要知識"

版主回應︰ 於 2012.05.30 03:43

除非鏡頭不能裝上相機,要不然用一個簡單的全景雲台更方便。當然,除非用光學儀器,測出來的結果都不會很準、約略而已。

CrazyHead  於2012.05.30 14:06  

於此 光學儀器的使用不是重點 因它也依賴"焦距"的定義
我問這方面問題的原因之一是要確定這篇"什麼是焦?"的說明和我讀後的了解是否相同
這個假想實驗只是把"什麼是焦距?"的說明轉換成可實測證明的敘述

這實驗須測量的參數為1.焦點位置 及2.通過F2的出射光與軸線間的夾角 焦點位置在光屏上(我)的視誤差通常是+/-3mm 第2項的夾角測量誤差的主來源是焦點位置(所以這項暫時是小問題)
Canon EOS 卡口與sensor距約50mm 所以預期的誤差約6%

我的主要問題是這種"焦距"的測法是否符合文中的說明 其結果數值是否會符合大多數的單眼相機鏡頭標示 謝謝

版主回應︰ 於 2012.05.30 19:16

如果只是要知道焦距、而不需要其它特性,簡單方法是有的,只是很難量得準確。請看此地:http://www.bobatkins.com/photography/technical/measuring_focal_length.html

CrazyHead  於2012.05.31 01:31  

懶蟲有點被(好老師)逼到了
根據成像公式及放大率公式算得 焦長f=(m*L)/(m+1)^2 其中m為放大率 L為被拍物至sensor的距離
稍測一下 似乎只在近距離(m+1)有意義時 f值才可靠

Bourne  於2012.06.28 11:54  

冼先生您好,这篇文章 - 以及本部落格的其他文章 - 是不可多得的好文, 不过:Nikon 的这些资料中的 H、H' 指的是 principal points,即 principal planes 与 optical axis 的交点。实际上,一般的光学系统也是这么定义的,而并非是 Nodal planes 与 Nodal points。

版主回應︰ 於 2012.06.28 12:17

此地是講一般攝影用鏡頭而不是廣義的光學系統,透鏡兩邊的介質都是空氣,所以principle plane和nodal plane相同,因此此地的討論沒有問題。這一點在以前的回應中講過了,請不要把問題複雜化。

Bourne  於2012.06.28 16:44  

在條件約束下可以相等,但並非意味著定義本應如此。縱觀各 cardinal points 之定義便一目了然,怎可如此之替代“相等”?

嚴謹之人在嚴謹之所授以嚴謹之內容,理應“正本清源”、“身為學界中人,把問題與答案解釋清楚...”。相信眾看客並非簡單想 know-what 之人,更多者為 know-why 而來。希望眾看客不會產生 misunderstanding,更不希望給眾看客帶來 misleading。拜讀大作亦需明辨,必要時免不了親自調研。

版主回應︰ 於 2012.06.28 17:37

很抱歉,我必須要說您missed the point而且不了解教育的目的和方法。請注意,這裡不是學術專論的場所,而只是傳伂基礎知識的地方,請問我們在教歐基里德幾何的時候,是不是要從黎曼幾何說起,再告訴學生歐氏幾何是黎曼幾何的特例;小學生學分數時,老師是不是要講無理數、再告訴孩子分數是無理數的特例;高中學複數時,老師是否要先講四元數或更廣義的數系,然後告訴高中生複數是個特性。

您的盲點就在於什麼都要從廣義說起,不管需不需要用到。寫教科書有足夠篇幅時理當如此,但在攝影的應用上,99.99%的鏡頭使用時機就是在空氣中,而且節點才是攝影中才會用到的觀念,所以直接定義節點並無不可,這就像教平面時不必告訴學生它是更廣義幾何的特例一樣。事實上,縱使是微積分教科書很多定義都是更廣義觀念的特例,爲了足夠使討論講解得以進行而如此。當了解這些基本知識而又想精進時,找了書自然知道主面和節面在介質不同時的差異。

如果您喜歡鑽牛角尖,請便,但此地恕不奉陪。

K  於2012.07.02 23:27  

非常好的一片文章,解决了我的很多疑惑。我从中学到了不少镜头方面的知识,非常感谢!

CrazyHead  於2012.07.12 12:32  

請問拍照對焦時 sensor所對應的景點集合是為平面或圓弧面
討論區的"問題如圖檔敘述" 正在吵這問題

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