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【冼鏡光初等幾何講堂】第一和第二講
冼鏡光
May 24, 2023上線
前些日子在YouTube上找東西時，發現一位（應該是數學）老師拍了不少初等數學的影片，其中有一部宣稱是討論一道日本寺廟幾何的問題，好奇之下就點進去看看。
從十八世紀到十九世紀上半，不少日本數學家會把他們的發現寫（或刻）在木板上，當奉納放在寺廟或神社中。這些發現大多數是和平面幾何有關的題目，然而直到1980年代之前少有日本人注意到這批重要的歷史資產。時至今日，不少日本和世界的數學家整理並且出版了很多有關的著作，特別是1989年出版《算額（San Gaku）》之後，就逐漸掀開了了解這些寺廟幾何題的興趣。
我在YouTube上看到的題目之一是這樣的：給定一個直角三角形以及兩個相等半徑相互外切、兩者又都和斜邊相切、每一者各和一直角邊相切的圓，用直角三角形三邊長求圓的半徑。下面的圖就是這個問題：已知直角三角形三邊的長，求圓的半徑。
這個問題不難，相信大多數同學都可以在短時間內做出來。不過，不少人說這是個日本寺廟幾何問題，但我翻遍整本《算額》都找不到這道題目，或許它有其它出處也說不定，也或許我看漏了也是有的。看了影片之後，我發現這些播主幾乎全用3、4和5這樣的邊長（這是直角三角形的特例）而不是任意直角三角形，在這個特例下半徑長是5/7；也幾乎一開始就假設這兩個等半徑的圓是存在、而且是唯一的，在嚴謹性上有所不足。因為若不存在所有的計算都是虛功，若只有某類型直角三角形才有（譬如3、4和5這一種）那就是特例而非通例；若這一對圓的確存在但卻不唯一，那麼算出來的半徑5/7就會不止一個（當然也有可能是所有這些等半徑的圓對的半徑都相同：唯一性，這是需要証明的）。釐清這些細節之後，問題才可以說是完全地解決。
以上所述的確是個簡單、而且也值得思考的問題。在接下來的幾天中，我把自己放在這個問題上，以初等數學的角度從各面向出發思考，發現我自己也可以做個節目解釋這個問題，這就是【冼鏡光初等幾何講堂】的第一講，我們從假設這兩個相等半徑的圓存在而且唯一開始，找出一般直角三角形下的解答，再接著證明這樣的圓是存在、而且唯一。所以，我們的計算是有意義的！最後介紹了《算額》和另一本與日本寺廟幾何有關的書。這一講有中文和英文兩個版本，中文版在此。
錄完第一講之後有了一個更進一步的想法：為什麼不在這系列中加上一些很美妙的幾何定理（譬如三角形的九點圓和內切圓內切、三個外切圓外切，三角形的角三等分線相交於一個正三角形等等）、更多的日本寺廟幾何問題的分析、以及比較深的定理（譬如直尺圓規三等分一角不可能、作17邊形、5次以上（含5次）的有理數多項式無法用加減乘除和開方解等）？事實上，我是在朝這個方向努力的。
第一講中英文版上線之後，很快地我就覺得可以加一個續集。如果兩個半徑相等的圓和斜邊相切可以很容易找出答案，那麼和直角邊相切時又如何呢？這就是下圖：
結果也不難，手法和第一講的相似。接著要問的問題是：既然直角三角形不難，這個問題在一般的三角形前提下又如何？也就是說，若有兩個相等半徑的圓和三角形的一邊相切，而每一個圓也和其它一邊相切，半徑為何？
這個問題似乎比直角三角形的情況難些，但想了想之後發現更簡單！為什麼？因為這兩個圓的半徑可以用內切圓半徑和三角形的公切邊（邊為公切線）表示。不過，必定是會有人反對的，因為所求的圓半徑並非用邊長表示。把內切圓半徑用邊長表示也不難，用Heron面積公式就行了！這是因為三角形內切圓半徑可以用面積算出來。
這些就是第二講的主題，不但如此，我們也用一般三角形的結果導出直角三角形的結果，並且指出把結果寫成一致而且對稱型式的重要性。第二講的中文版在此。
接下來，在這一系列影片中會介紹一些「真正的」日本寺廟幾何問題、以及用近代眼光的處理方式。事實上，我看過的許多日本寺廟幾何題目中極少有用近代（甚至於題目出現時）的西方技巧討論的，大多數是就像是第一講中的直角三角形的邊長為3、4和5，則圓半徑為5/7的型式，這和中國古代數學典籍類似，但看起來從18世紀到明治維新前，這些日本寺廟幾何題目雖然在深度上不如西歐，卻是遠遠超過中國同期進展的，因為大清帝國正在鎖國和內亂中走向衰敗和滅亡的路上，不會有多少人關注這些數學問題（請注意，《幾何原本》早在1607年就由徐光啟翻譯出版，但中國卻沒有發展出和日本寺廟幾何問題匹敵的作品）。
相信這一系列討論對高中生、數學老師、以及喜歡數學的人士會有些幫助。在日本《和算》網站www.was an.jp上還有更多有關的資料、甚至於日本古代典籍的數位掃描檔以及很多近代著作、與少部份的英譯本。若您想看英文書，那麼《Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry》這本書是經過整理分類的日本寺廟幾何問題集，書中還有分析和部份問題的解答，非常值得一讀。這本書在網上有免費PDF版下載，用作者和書名一搜就可以找到，但是我不知道有無版權問題（我有紙本書），下載使用時小心點。
最後，錄這些初等幾何的影片只是興趣，為國內同好盡一分心意而已。我也打算把近三十五年前出版的《名題精選百則》這本書中一些有趣的題目從新做過、和各位分享。另外，2020年春我在北科大開過一門並行計算（Concurrent Computing）的課，是用英文講的，回美後又重錄過一次（完整的影片和投影片在此），我也打算抽取最重要的部分用中文再錄一次，希望對一些資工系同學有點幫助。
【初等幾何講堂】的中文版網頁在此 ，其中有各講的影片和PDF版的投影片，這個網頁會隨新影片上線而修訂。
本文中提到的兩本日本寺廟幾何的書如下：
- Hidetosi Fukagawa and Dan Pedoe, Japanese Temple Problem： San Gaku, The Charles Babbage Research Center, Winnipeg, Canada, 1989.
- Hidetosi Fukagawa and Tony Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008.
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引用方式：冼鏡光，【冼鏡光初等幾何講堂】第一和第二講，DCView.com達人部落格（http://blog.dcview.com/article.php?a=DzNUMlc%2FUGYHZg%3D%3D）
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