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寫給新手：透視的基本觀念
October 13, 2012上線
在各大論壇、部落格和網頁上，透視是一個不很常見、
在攝影中，或至少是從實物到影像的轉換來看，
歐洲文藝復興時代透視和投影的觀念在畫家手上茁壯，後來演化成今天繪製工程圖基礎的投影幾何學（descr iptive geometry），再由幾何學家進一步發展成數學中極其優美的射影幾何學（projective geometry）。本文的目標是瀏覽一些和攝影有關的觀念：首先是定義投影和透視，再說明改變視角不會影響透視、並且改變拍攝距離會改變透視。接著討論一些和透視有關的變形，包含了透視變形、平行線收歛、廣角變形、觀賞照片的距離對從透視還原實景可能產生的問題等。
透視和投影
所謂的透視（perspective），簡單地說，就是把三度空間的事物經由某種方式轉換成二度空間的畫面，不過繪畫和攝影只會用到最簡單的線性透視（linear perspective）。要注意的是，透視並不來自鏡頭（雖然本文幾乎都用鏡頭說明），而是觀看位置和到景物距離之間的關係，在不用鏡頭的針孔攝影中一樣存在。
下圖是Brook Taylor在1811年版書中對透視的解釋。從觀看者眼睛出發，經過物體上一點的直線和畫面平面相交，這些交點把三度空間物體（可以看到的）表面投射在平面上。從一個點出發的投影方式叫做中心投影（central projection），該點叫做投影中心（center of projection），用來接收投影的平面叫做影像平面（picture plane）。透視就是在給定投影中心的條件下，物體在影像平面上的呈現方式。
Brook Taylor，New Principles of Linear Perspective，4th edition，J. Taylor, London, England。這本書的第一版是1715年。
相機是一個比較特殊的中心投影，投影中心是鏡頭，影像平面是底片或感光晶片平面，比較特殊的是視線（也就是鏡頭軸線）垂直地經過影像平面中心。下圖中C是投影中心、S是影像平面、它到投影中心C的距離為v、水平線是視線；如果S在投影中心後方，物體在S上的像是上下顛倒、左右相反的。在相機系統中，鏡頭（正確說法應該是鏡頭的入瞳孔）是投影中心，因為感光晶片在鏡頭後方，鏡頭投射的像會上下顛倒、左右相反，於是DSLR的觀景系統需要五稜鏡或類似機制把投影的像轉回正常的方位。
要注意的是，平行地前後移動影像平面S只會造成放大和縮小的效果，影像中各元素之間的相對位置和比例大小不會改變。
改變視角
縮小或加大影像平面上接收影像的面積不會改變透視，因為較小區域中的內容只是較大區域的一部分（見下圖），影像中各元素之間的相對位置和大小完全相同。在攝影中相當於用較小片幅記錄大片幅拍到的內容，這正是裁切的意義。改用鏡頭的觀點來看，就是透過焦距改變視角、擷取景中的部分內容。所以在不計較景深、像差等鏡頭特性的前提下，若鏡頭位置（亦即投影中心）固定，改變焦距（也就是視角）不會改變透視。
下面照片(a) 是用焦距15mm（135片幅等效焦距，下同此）的超廣角鏡頭拍攝，照片(c) 是在原地換用35mm廣角鏡頭拍攝，照片(b) 是(a) 中 對應部位的裁切並且放大後的效果。因為放大不影響透視，所以(a) 和(b) 的透視相同，比較(b) 和(c) 會發現除了物體方位有稍許差異之外，兩者的透視相同。因此，這証實了拍攝位置和視線相同時、改變焦距（亦即視角）不會改變透視的說法。
改變拍攝距離
雖然改變影像平面位置和焦距不會改變透視，但 改變拍攝位置（投影中心）會改變透視，縱使視線一致也如此。下圖是用計算機模擬針孔攝影的結果，圖中的方塊左後方有一個白球，當投影中心非常靠近方塊時，白球被方塊擋住（圖(a) ）。把投影中心移離開方塊會看到白球的一部分，圖(b) 是裁切放大後的結果（不會改變透視 ）；把投影中心再移遠些可以看到白球全部（圖(c) 也是裁切放大），透視和(a) 與(b) 相差極大，這說明了改變拍攝距離會改變透視的事實。
用相機拍攝的效果也相同。下面照片(a) 是用18mm超廣角鏡頭在近距離拍攝、(b) 是在較遠距離拍攝、(c) 是(b) 車子部位的裁切（不會改變透視），很明顯地(a) 和(c) 的透視不同，因為後者可以看到車頭大部分。不但如此，照片(c) 還可以看到(a) 中被主體擋住的左方黑色車子，這個道理和上圖所說的相同。
透視變形
因為透視是把三度空間景物投射到二度空間的結果，在投射過程中會失去部分資訊，其中一項就是距離，因而從透視反向構作原來的景物就有潛在的困難。下圖是模擬的效果，紅球比較靠近投影中心，黃球和紅球一樣大、但離投影中心較遠。圖(a) 是投影中心非常靠近紅球的透視，紅球看起來特別大、黃球就小很多，感覺上就是兩個球前後相距很遠。把投影中心沿視線後移，景物在影像平面上變小，但因為裁切不會改變透視，圖(b) 是裁切放大後的結果，我們看到黃球變大、產生兩個球前後距離不如(a) 中那麼長的感覺，而且兩者之間的橫向距離變寬。圖(c) 是把投影中心移到更遠所在，兩個球差不多一般大小、感覺上它們在同一排，而且左右之間的距離又更大。
所以，投影中心距物體近時會跨張前景而使背景的物體變小，在透視中有前後距離很長的深遠感覺。反之，投影中心離物體遠就變成跨張背景、把背景物件變大，因而透視中少了讓人判斷近大遠小的元素，於是產生背景和前景事物幾乎壓縮在同一平面的效果。
下面照片是用廣角鏡頭拍攝的小教堂一景，由於廣角鏡頭誇張了前景而且拉遠了背景，一個小而窄的教堂在照片上有了深而遠的透視效果。
下面照片則是離建築物很遠用超望遠鏡頭拍攝，因爲投影中心距實景很遠，產生相距頗有一段距離的建築物幾乎出現在同一個平面的壓縮效果。
深遠和壓縮的透視效果有一個很直覺的解釋。下圖有兩個部分，分別對應著廣角鏡頭（左）與望遠鏡頭（右）的視角。如果用廣角鏡頭並且希望三個紅點正好佔滿整個畫面，就會拍攝到後排的六個黃點；若換用望遠鏡頭，因為視角變小而得後退（改變了投影中心到物體的距離），所以只會拍到後排的四個黃點。因為畫面大小固定，當畫面上有六個黃點時，每一個都比畫面上只有四個時來得小，於是覺得黃點比較遠；反之，望遠的畫面中因為能夠看到的黃點數目與前排的紅點數目幾乎一樣，就會覺得前後兩排點擠在一起，有了壓縮的效果。
平行線
除非影像平面和景物平行，景中的平行線在影像平面上會變成不平行、延長後會在某處相交的收斂效果，這是正常的透視。下面兩張照片是很好的例子，因爲建築物太大，鏡頭向上拍攝使感光晶片（也就是影像）平面不與建築物表面平行，於是建築物的垂直線條不再平行，而且有後傾的感覺。
改善平行線變成收歛的現象不難，如果可能就走遠些並且讓視線和物體表面垂直再拍攝（下面第一張照片），然後用軟體裁切，通常就可以解決問題（第二張照片）。但是這個方式不一定可行，因爲有時無法後退讓視線和物體垂直，而且裁切可能會失去太多像素而無法印較大張的照片。有些機型和後製軟體有透視修正的功能，但是修正過份收歛的平行線也會影響影像品質。如果對影像要求很髙，或許就得用透視控制鏡頭（perspective control lens），不過這類鏡頭屬於較專業領域而且所費不貲。
廣角變形
廣角鏡頭容易造成廣角變形（wide angle distortion），而且鏡頭（事實上是視角）愈廣就愈嚴重。下圖中L是鏡頭的位置，A與B是兩個球。中央的球A在畫面I上看起來還是圓的，但是邊緣的球B在畫面上會變成橢圓形，這是廣角變形，也是誇張效果的主因。從鏡頭L看球B時，看到的是以XY為直徑的一個圓，這個圓和鏡頭中心構成一個圓錐，球B的像是感光晶片和這個圓錐的交線，這是一個橢圓。廣角變形在任何鏡頭上都會發生，因為廣角鏡頭的涵蓋面比較廣，畫面邊緣被攝體在近距離拍攝的廣角變形就特別明顯，前面看過的車頭照片就是一例。
下圖是用模擬針孔攝影的結果，(a) 是近距離、廣角變形很嚴重；(b) 是把透視中心移遠之後再裁切後的結果（不會改變透視），廣角變形低了些；(c) 是把透視中心移得更遠再裁切的結果，廣角變形幾乎消失。
觀賞距離和透視
觀賞距離和能否從平面照片正確地還原景物的長度比例有密切關係。若用焦距f的鏡頭拍攝片幅爲d的影像，然後把該影像放大k倍成爲片幅k´d的照片，最理想的觀賞距離就是焦距的k倍，也就是k´f。在這個條件下，因爲原透視被放大k倍，觀賞照片時的透視關係和拍攝時的透視關係完全相同。
偏離了上述條件的觀賞方式很可能會造成景物間長度或距離上的錯覺。下圖中C是拍攝位置，兩條藍色粗線條A和B表示景中兩個等高並且距離爲d的物體，I是影像平面，I上黃色方格表示A和B頂點在影像平面上的像。
如果觀賞距離移到比較近的V1（相當於把投影中心前移），而且期望在影像平面上看到A和B的像仍然相距d，於是從影像平面還原的實景中A會比B短（圖中的紅線）；換言之，從V1看到的透視是由兩個相距爲d、前者比後者短的物體產生。把V1往後移，前後兩個物體的長度變短、差距也變小，當V1和C重合時就得到拍攝時實景的透視。把V1移超過C，就變成前方物體比後方的長了。
如果觀賞距離定到比較遠的V2（相當於把投影中心向後移），而且期望在影像平面上看到的A和B等髙的透視（以A所在爲準），於是從影像平面還原的實景中，A和B之間的距離會比原距離來得長（圖中的灰線）；換言之，從V2看到的透視是由兩個等髙、但距離大於d的物體產生。
然而觀賞照片時不太可能知道拍攝用的焦距、片幅、到被攝體距離等資訊，因此很難定出觀賞距離，從而得到拍攝時的正確透視，當然從觀賞點把影像還原成實景就有潛在的困難。下面照片是一台二十世紀初的大型SLR，它前後的高度相同，若貼近照片觀賞，就會覺得相機的後緣比前緣高（見上圖的說明），把觀賞點後移會使高度的差異逐漸降低。
結論
前面討論透視的基本觀念和對攝影的影響，但是沒有討論到繪畫中常見到的大氣（或環境）透視，因爲這不是一層幾何的關係、而是環境的影響。大氣透視（atmospheric或aerial perspective）指的距離愈遠，景中的色澤愈淡而且對比愈低，最後融成沒有細節的畫面，這個現象給觀察者一個距離的提示。器材方面，透視控制（perspective control）鏡頭可以幫助攝影者克服透視所帶來的課題（譬如透過調整影像平面把收歛的直線變回平行），但因爲這類鏡頭比較特殊而且超出本文範圍，所以此地也沒有討論這類型器材。
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