基礎知識:什麼是焦距?(一)
發表於2009.01.28 02:49

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基礎知識:什麼是焦距?
 
冼鏡光
January 28, 2009上線
 
 
            選擇鏡頭時第一個考量的重要因素恐怕是鏡頭的焦距,第二項也許就是光圈。不過相機鏡頭少則三五片透鏡、多則十餘片,如此複雜的相機鏡頭的焦距從何而來?物理學教科書中的焦距通常只用單透鏡說明,這個單透鏡理論又如何用到複雜的相機鏡頭上呢?這篇文字嚐試在動用最少數學與物理學觀念的前提下,為您一步一步地用直覺的方式解釋這個論題。
 
            徹底了解焦距的觀念是很重要的,因為和鏡頭有關的資訊與討論總是離不開焦距,而且很多重要概念(譬如f值、視角等等)都直接使用焦距,在此之前把鏡頭上半部遮住會拍到什麼DC望遠鏡頭倍率不是的迷思近拍(最短)對焦距離的迷思這幾篇(還有往後其它)文章中也用了焦距的觀念。所以正本清源,在談其它相機鏡頭的課題之前,我們得把焦距的基本觀念好好說一說。
 
 
 
焦距¾直覺的定義
 
            透鏡大致上分成凸透鏡與凹透鏡兩類,我們先看凸透鏡,放大鏡就是個典型的凸透鏡。找一個睛天出太陽的日子,拿一個放大鏡到戶外水泥地或磚牆邊,然後把放大鏡對正太陽前後移動,就會發現地上或牆上有個很亮的點,這就是太陽透過放大鏡所得到的像。在前後移動放大鏡(相當於對焦)時太陽的像會改變大小,把放大鏡移到使太陽的像最小也最亮的位置(對焦成功),於是從太陽的像到放大鏡中心點的距離就是放大鏡的焦距focal length)、也叫做焦長,太陽的像所在位置是放大鏡的焦點focal point)。如果在原位置把放大鏡反過一面對正太陽,也會發現焦距與原來的幾乎一樣。
 
            因為太陽的位置離放大鏡太遠,我們不妨想像成是在無限遠處;又因為放大鏡對正太陽,這等於是說太陽是在放大鏡軸線(經過放大鏡中心並且與放大鏡垂直的直線)上無限遠的地方。從無限遠出發、沿軸線方向前進的入射光可以看成是一束平行線,只要想想鐵路雙軌永遠平行、但我們總是有一個它們會在很遠很遠處相交的感覺(這是透視效果),於是就不難理解上面的說法。所以,從軸線上無窮遠處的物體(太陽)出發、依軸線方向自左而右進行的光線(入射光)正是與軸線平行的線條(見下圖),這些光線經過凸透鏡折射後會在軸線上某個點匯聚,這個點是凸透鏡的焦點,從焦點到放大鏡中心的距離是焦距。綜合起來,我們有這樣的定義:給了一個非常薄、薄到厚度可以略而不計的凸透鏡L(用兩個向外指的箭頭表示、見下圖),與透鏡軸線平行(自左而右)的入射光經過透鏡折射後會在軸線上某個點匯聚,這個點是該凸透鏡的焦點,從焦點到透鏡中心的距離是焦距;另外,自右而左與軸線平行的入射光定出在凸透鏡的另一側焦點。

 

 
            任何一個在無限遠的點都可以經過透鏡成像。從一個在無限遠的點出發、以某個方向到達透鏡的入射光也可以視為沿同一個方向的平行線(見上圖),它們到達透鏡後會被折射、再匯聚成一點,這個點是該無限遠點經個透鏡得來的像(見圖中黄色方格)。空間中所有在無限遠的點可以想像成在一個無限遠平面(plane at infinity)上,它們經過透鏡的像當然也在一個平面上,而且這個平面包含了焦點,因為焦點是沿軸線方向在無限遠點的像。所以,包含所有在無限遠點的像的平面與軸線垂直、而且經過焦點,這個平面叫做焦平面focal plane),這是上圖中的F;因為透鏡有兩個焦點,所以有兩個焦平面。歸結起來,焦平面包含了所有在無限遠的點的像,它到透鏡的距離等於焦距。
 
            再看凹透鏡的情形,下圖中L是一個非常薄、薄到厚度可以不計的凹透鏡,我們用兩個箭尾表示。從無限遠出發並且與軸線平行(自左而右)的入射光到達凹透鏡L之後會被折射,與凸透鏡不同的是,在凹透鏡下穿過透鏡的光會散開(亦即發散),不過這些光線的延長線會在軸線上交於一點,這是凹透鏡的焦點(但在透鏡的左邊),從焦點到透鏡中心的距離是焦距。

 

 
            再考慮一個不在軸線上的無限遠點,從那兒出發以某個方向進行的入射光就是與該方向平行的光束,它們到達透鏡L時也會散開,因為這些光線來自在無限遠的同一點,它們的延長線也會交於一點(圖中的黄色方格)。與凸透鏡相同的是,所有在無限遠的點可以看成是在一個平面上,於是所有無限遠點的像也在一個平面上,這個平面(亦即焦平面F)與凹透鏡的軸垂直而且經過焦點。與凸透鏡不同的是,這些像是光線延長線的交點、並不在實際光路上,所以都是虛像;另外,凸透鏡的實像在透鏡右邊,但凹透鏡的虛像在透鏡的左邊。
 
            讓我們把上面的討論做個整理。不論是凸透鏡還是凹透鏡,從無限遠出發沿某個方向自左而右到達透鏡的平行入射光經折射後,這些光線或它們的延長線會交於一點(在無限遠點的像);所有無限遠點的像都在焦平面上,焦平面與軸線的交點是焦點,從焦點到透鏡中心的距離是焦距。要注意的是,在凸透鏡下,一個無限遠點的像在透鏡右側,是個實像;但在凹透鏡下,無限遠點的像在透鏡左側,是個虛像。很重要的是,到目前為止我們都假設透鏡是薄的、薄到厚度可以不計,因此用線段加上箭頭(凸)或箭尾(凹)表示,不過我們稍後也會講到如何引入透鏡厚度的方法。要再次提醒的是,焦點與焦距的定義來自從軸線上無限遠出發、與軸線平行的光線。
 
            接下來的幾節從這個基本結構開始,講解薄透鏡原理、再擴充到厚透鏡,然後討論複透鏡,最後看幾個實際的相機鏡頭做結束。為了避免引入太多數學內容,我們假設入射光都很靠近透鏡的軸線(近軸光學),於是整個討論就大為化簡,而且與高中或大學物理教科書的材料一致。
 
 
成像原理¾直射光
 
            單片薄透鏡的成像原理是基於三絛特殊光線中的任何兩條,我們先從凸透鏡談起。下圖中這三條光線用藍色、紅色、灰色表示,圖中透鏡左邊有一個高為O(物長)的被攝體,它到透鏡的距離為u(物距),透鏡有兩個焦點(圖中的黃點),焦距為f。第一道光線(藍色)從被攝體頂點(淺藍方形)出發、與鏡頭軸線平行,到達透鏡後被折射向右邊焦點前進;第二道光線(紅色)穿過透鏡中心沒有折射;第三道光線穿過左邊的焦點,到達透鏡被折射後與透鏡軸線平行。因為這三道光線都是從被攝體頂點出發,經過折射後當然會交於一點,這是被攝體頂點的像。因為三道光線交於一點,從被攝體頂點出發,任取兩道就可以求出它的像。我們用v表示像到透鏡的距離(像距),並且用I表示被攝體的像的長度(像長),於是m = I/O就是放大率(像長比物長)。

 

 
            用幾何學的相似三角形觀念,從上圖不難導出OIuvf這幾個值滿足下面三道重要式子;第一是透鏡公式:

 

 
第二是牛頓(Newton)公式:

 

 
第三是放大率公式:

 

 
            從透鏡公式與放大率公式可以看出:1當物距u趨近無限大(被攝體在無窮遠)時,1/u趨近於0,於是像距v趨近於f、放大率m趨近於02當物距u趨近於焦距時,像距v趨近於無限大,放大率m也趨近於無限大。
 
            再看凹透鏡的情形(見下圖)。從被攝體頂點出發而且與透鏡軸線平行的光(藍色)到達透鏡後,會被折射散開,但它的延長線(虛線)會經過左邊的焦點。第二條光線(紅色)通過鏡頭中心,不會被折射。第三條光線(灰色)的延長線會經過右邊的焦點,但到達透鏡時會被折射變成與透鏡軸線平行,向後延伸(虛線)與第一道光線的延長線以及第二道光線交在一點,這是被攝體頂點的像。因為這個像是由虛(延長)線得來,所以凹透鏡得到虛像。

 

 
            如果仍然用OIuvf表示物長、像長、物距、像距、焦距,使用相似三角形的觀念也可以導出三道基本式子。第一道是透鏡公式:

 

 
第二道是牛頓公式:

 

 
第三道是放大率公式:

 

 
            比較凸透鏡與凹透鏡對應的式子,就會發現它們十分相似,通常只差個正負號。為什麼會有正負號的差異呢?根本的問題在於凸透鏡讓(從左邊來的)光線經過透鏡右邊的焦點、而且像在透鏡右邊(至少圖是這樣畫的,但卻不一定永遠如此,見下文),但在凹透鏡時光線的延長線卻經過透鏡左邊的焦點、而且虛像在透鏡的左邊,這個左右的差異造成正負號的差異。
 
            為了讓兩組式子一致,光學教科學通常會引進某種慣例,此地使用以下幾點:1入射光從左邊進入鏡頭,於是u是正;2如果匯聚的焦點在透鏡的右(或左)邊,f是正(或負)值;3若像在透鏡的右(或左)邊,v是正(或負)值;4如果入射光從右邊進入透鏡,uvf都變號。我們回頭看凹透鏡的情形,因為用左邊的焦點而且像也在左邊,所以fv都用負值,因此在透鏡公式與牛頓公式中都得用-f-v。把這兩式稍做整理、使vf都帶負號,就會得到:

 

 

 
於是凹透鏡的兩道式子與對應的凸透鏡式子就完全相容了。因為放大率恆為正值,在凹透鏡情況得用絕對值。
 
            有了這個觀念之後我們不妨做幾個簡單的推論。首先,在透鏡公式中,如果被攝體到凸透鏡的距離(物距u)小於焦距f,於是1/v = 1/f - 1/u小於零,這表示像距v小於0,被攝體的像出現在凸透鏡的左邊,它是個虛像、不會在底片或感光晶片上成像。下圖是個例子,在那兒u = 1f = 2,解出v = -2第二,在凸透鏡情況下,如果物距u大於焦距f(亦即被攝體在焦點左邊),於是v大於0、像在凸透鏡右邊而且可以在底片或感光晶片上成像。第三,從凸透鏡成像的圖與上一點,如果物距大於焦距(亦即u > f),那麼像距也會大於焦距(亦即v > f);所以在有實像的情況下,像永遠在焦點的右邊。第四,再看凹透鏡,從透鏡公式可知1/v = 1/(-f) - 1/u永遠小於0,於是像距為負值、像在凹透鏡的左方,因此不可能在底片或感光晶片上成像。

 

 
 
成像原理¾斜射光
 
            上一節談到三道特殊光線與它們到達透鏡後被折射的情形,那麼任意的光線是如何折射的呢?這是個看起來不很容易,但事實上卻不十分難的問題。
 
            下圖中藍色表示一道任意的入射光,我們想要知道它到達透鏡後的折射方式。回想一下焦點的定義,它是在軸線上無窮遠處一個點的像,於是在無限遠平面上的每一個點的像就都在經過焦點、並且與軸線垂直的平面(叫做焦平面focal plane)上。我們可以把藍色的光想像成是從無限遠平面上某個點出發、以藍色線條方向進行的光線,與上一節一樣,從同一個在無限遠的點出發而與藍色光線同一方向的光線中會有一條經過透鏡中心(紅色)、也會有一條經過透鏡的焦點(灰色);在這二者中,紅色光線不會折射,灰色光線到達透鏡後會折射成與軸線平行。因為這三道光線來自同一點,它們會交在同一點;因為原來的點在無限遠,它的像在焦平面上。

 

 
            有了這個基本概念之後,用下面幾步就可以作出入射光的折射方向(見下圖):1令入射光(藍色)與透鏡的交點為A2從焦點作一條與入射光平行的線(灰色)、與透鏡交於B3經過B作一條與軸線平行的直線,令它和經過另一個焦點而且與軸線垂直的線交於C4連結AC的直線就是入射光折射後的結果。

 

 
            這個手法也可以用來求出軸線上任何一點P的像Q,我們只要從P任作一條(下圖的藍色)光線,假設它與透鏡在A處相交,然後依上述的方式作圖找出折射的方向,這條折射光或它的延長線與軸的交點Q就是P的像。

 

 
 
厚透鏡
 
            講完薄透鏡之後就應該說厚透鏡了,以下只用凸透鏡說明,您不難用前面的觀念改成為凹透鏡。下面的圖是一個厚凸透鏡L,我們仍然用藍、紅、灰三道光線做說明。首先,從P出發的藍色與軸線平行的入射光到達透鏡L的表面時會折射進入透鏡,到達透鏡第二個表面會再度折射離開透鏡,並且與軸線在F2相交;因為入射光與軸線平行,折射後會經過焦點,所以F2是兩個焦點之一,當然P的像Q會在這道(出射)光上某處。反過來,從Q出發的灰色與軸線平行的入射光到達透鏡L的表面時會折射進入透鏡,到達第二個表面會再度折射離開透鏡,並且與軸線在F1相交、再到達P,於是F1是另一個焦點。

 

 
            再回頭看藍色的光線,與軸平行的入射光延長線(虛線)以及到達焦點F2的出射光延長線會在某處相交。不但如此,因為每一條與軸平行的入射光都會折到焦點F2,於是平行部份與到達F2的出射光延長線也會交在一點,所有的這些點構成一個曲面,但因為只考慮離軸很近的光線,這個曲面差不多就是個平面,我們把這個平面叫做主平面principle plane)、簡稱做主面。同樣的道理,從Q出發而且與軸平行的(灰色)光線經過折射後會經過焦點F1而到達P,於是入射光與到達F1的出射光交點也定義了另一個主面。
 
            有了主(平)面之後,透鏡內折射的手續就可以省略了,因為進入鏡頭並且與軸線平行的光線可以想像成直線進行,到達主面後再折射到對應的焦點,所以厚透鏡的折射關係可以用兩個主面表示、使折射的討論簡化成只比薄透鏡稍許複雜一點;當然,若兩個主面重合,這個厚透鏡就變成一個薄透鏡。
 
            此外,不論是那一個方向的入射光,都會有一道光線進入鏡頭與離開鏡頭的方向相同(亦即平行),這相當於薄透鏡中經過透鏡中心的光線,也是上圖中的紅線。把這道特殊的入射光延長(圖中紅色虛線)與軸線交於一點N1,把出射光部份向後延伸也與軸線有一個交點N2,這兩個點叫做節點nodal point),經過節點而與軸線垂直的平面叫做節面nodal plane)。
 
            如果透鏡兩側的介質相同(譬如在一般拍攝時介質就是空氣),主面與節面重合,主面與軸線的交點就是節點(見上圖)。但若透鏡兩側的介質不同(譬如水下攝影時入射光側是水、出射光側是空氣),主面與節面不同,當然節點位置也不同。以下為了方便起見,我們假設透鏡兩邊的介質相同,因此主面與節面重合,整個討論會大為化簡。
 
            焦點與節點的對應是十分重要的。從左邊來與軸線平行的入射光到達N2的節面時會折射到焦點F2,從右邊來與軸線平行的入射光到達N1的節面時會折射到焦點F1,所以F1N1一組,F2N2是另一組。
 
            正因為有了兩個節面,物距、像距、與焦距的定義就有點不同了。首先,焦距f是從某個焦點到與它對應節點的距離;同樣地,物距u與像距v都是到對應節點的距離,請看上圖。在這樣的定義下,透鏡公式、牛頓公式、與放大率公式都成立而不必更動。
 
            請接著看第二部份

 
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引用方式:冼鏡光,基礎知識:什麼是焦距?DCView.com達人部落格(http://blog.dcview.com.tw/article.php?a=BTgEZVQ8BTA%3D

 

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回應

Jyh Lih  於2009.01.28 19:12  

用節點(nodal point)定義焦距,只能定義物空間及像空間,介質相同的時候。
因節點會因物像空間介質不同而改變,所以一般焦距的定義,是以焦點(focal point)到主點(principle point)的距離。

狼神  於2009.02.21 17:23  

冼老師,小弟的朋友買了一支AF-S VR Micro-Nikkor 105mm f/2.8G IF-ED,結果我們在使用時發現,它會因為對焦距離的不同而改變它最大光圈值,想請問一下,這個是什麼原因呢?

版主回應︰ 於 2009.02.22 14:47

這是正常現象、而且是設計成這樣的。首先,光圈f值是以對焦在無限遠時定義,當對焦到近距離時鏡筒會伸長,因此光路加長、失光量加大造成最大光圈值變小。許多有內對焦(IF)的微距鏡頭中有一組對焦用透鏡,對焦時雖然不會改變鏡筒長度,但這一組對焦用透鍰在對焦到近距離時一樣會改變最大光圈。不但如此,廠家為了縮短對焦距離達到1:1效果,這一組對焦透鏡還會縮短焦距;換言之,105mm在1:1時的焦距不是105mm、而是某個比105mm小的值。這種通常是日系的設計,Leica與Zeiss不太用這種設計,所以最高放大率就定在1:2。

meg  於2009.09.24 11:04  

GOOD TO KNOW

提姆  於2012.05.30 11:17  

不好意思,跟您請教一下,如果就硬體上來說,Focal Plane我可以看成是Sensor嗎?感謝您

版主回應︰ 於 2012.05.30 19:22

如果鏡頭是裝在相容的機身上,對焦完成後焦平面就是sensor平面。譬如說,M42的鏡頭裝在Nikon機身上無法對焦到無限遠,事實上焦平面是在Nikon機身sensor的前方,此時焦平面就不是sensor平面。

K  於2012.07.02 23:29  

讲的非常清晰透彻,学习了!多谢好文!

zACK  於2012.10.08 20:42  

^^ 超直覺 讀得時候很愉快
不過圖片要是更活潑就更好
這種簡圖都會讓我回憶起那該死的教科書

plin  於2013.05.02 01:41  

冼老師,請教一下,您於 2012.05.30 19:22 對提姆的回應說:對焦完成後焦平面就是sensor平面。但成像不是應該在成像平面嗎?對焦之後,sensor平面與成像平面重合,才能得到最清礎的物像,不是嗎?還是說,此處的焦平面指「對焦點」平面成像的平面。
謝謝

版主回應︰ 於 2013.05.06 10:28

對焦完成後,像所在的平面應該是底片平面所在;換言之,對焦的意義就是把像所在的平面放在底片平面的位置。

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